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•I réalisé un progrès décisif dans la théorie des surfaces miiiiina; elles ont 

 » donné l'intégrale sous une forme qui a permis d'obtenir toutes les sur- 

 » faces minima réelles et un nombre illimité de surlaces algébriques; elles 

 » ont fait connaître surtout un grand nombre de propriétés communes à 

 » toutes ces surfaces; elles ont enfin permis la solution complète du pro- 

 » blême suivant qui est fondamental : déterminer la surface minimum pas- 

 » sant par une courbe quelconque et admettant en chaque point de cette 

 » courbe un plan tangent donné ». La solution trouvée par Bonnet lui 

 fournit le moyen de déterminer une surface minimum connaissant soit 

 une de ses géodésiques, soit une de ses asvmptotiques, soit une de ses 

 lignes de courbure; la recherche des surfaces minima applicables sur une 

 surface minimum donnée le conduit à la notion de surfaces minima asso- 

 ciées; le problème des caries géographiques lui donne pour ces surfaces 

 un résultat caractéristique : pour faire la carte d'une surface minimum 

 sur la sphère, c'est-à-dire pour avoir une image sphérique de la surface 

 dans laquelle les triangles infiniment petits de la surface restent sembla- 

 bles à eux-mêmes, il suffit de faire correspondre, à chaque point de la sur- 

 face, le point où le rayon parallèle à la normale rencontre la sphère. 



» Les méthodes de transformation des figures constituent un moyen 

 précieux de recherche et de classification; les plus simples d'entre elles 

 ont été données par Poncelet et Chasles. Dans la théorie des équations 

 aux dérivées partielles du premier ordre, Monge avait déjà fait usage 

 d'une transformation qui, d'après une remarque de Chasles, revient aune 

 transformation par polaires réciproques. Bonnet en donne une autre, gé- 

 néralisée depuis par Laguerre, réciproque comme celle de Monge, et pos- 

 sédant la curieuse propriété de conserver les lignes de courbure comme le 

 font l'inversion et la dilatation par laquelle on passe d'une surface aux 

 surfaces parallèles. Il fait usage de cette transformation pour ramener à 

 l'étude des surfaces minima celle des surfaces clans lesquelles la somme 

 des rayons de courbure principaux est double de la longueur de la nor- 

 male jusqu'à un plan fixe. 



» Après la belle découverte de Dupin sur les lignes de courbure des 

 familles de surfaces orthogonales, l'étude de ces systèmes a fait l'objet 

 de travaux d'une grande portée, tant en Géométrie qu'en Physique ma- 

 tbématique. Mais ces systèmes de surfaces furent étudiés longtemps, sans 

 qu'on recherchât les conditions de leur existence et le degré d'arbitraire 

 pouvant subsister dans leur construction. Quelques géomètres, trompés 

 par l'analogie avec le problème des réseaux de courbes orthogonales dans 



0. p.., 1893, 2- Semeslre. (T. CVVII, N« 26.) l36 



