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Alors a el [3 peuvent se mettre sons la forme 



a', a", P' et fi" étant développables suivant les puissances de - quand q est 



assez grand. 



» Si alors nous mettons U sous la forme (3), la première intégrale du 

 second membre de (3) s'écrira 



OU 



i(^,/) =, é'I'Jt'-'-'à 



est développable pour q suffisamment grand, suivant les puissances crois- 

 santes de - et de /. Alors, en vertu d'un théorème facile à démontrer, cette 



q 



intégrale est une fonction holomorphe de x et de /, pour ^ = o, et pour 

 toutes les valeurs réelles de œ, sauf pour 



a; = a — l, x =^ h — t . 



De même, la seconde intégrale du second membre de (3 ) sera holomorphe, 



sauf pour 



X ^= a ^- t, r = 6 -i- /. 



M Ainsi, pour / = o, U sera une fonction holomorphe de a; et de /, sauf 



pour 



a; = rt ± /, X = o ±-- 1. 



1} Les valeurs initiales de U et de -j- étant nulles pour a? > « et a; •< 6, 

 il en résulte que U sera nul pour 



xy> a -i- t et X ■<^b — t. 



» On voit également que la fonction U possède quatre discontinuités 



X ^= a± t, X ^ b ± /, 



qui se propagent avec une vitesse constante égale à celle de la lumière. 



» Pour pousser cette étude plus loin, commençons par faire une hypo- 

 thèse particulière. 



« Soient/= o pour toutes les valeurs réelles de a? et/, = o pour toutes 



C. R., 1S93, 2 Semestre. (T. CXVII, i\« 26.) làj 



