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 fonction entière de sin'C, et cos?^,; * = ^, f, •••) 



R = ^s 



)) Dan s ses belles recherches sur le développement approché de la fonction 

 perturbatrice, M. Poincaré a obtenu la valeur asymptotique des termes en 



'^^^ (m'C-hmXi) qui font partie du développement de R, en faisant :/=/, = i ; 

 s = l; e très petit; —' négatif et voisin, en valeur absolue, du rapport des 



moyens mouvements ( ' ). 



n Je me suis proposé de déterminer la valeur asymptotique des termes 

 éloignés du développement de R, en considérant le problème dans toute 

 sa généralité. 



» La lecture attentive des travaux de M. Poincaré m'a suggéré mon 

 point de départ. En posant 



m, 



F(.,,) = -51î(=-Ungi)(=-cott)K. 



le problème se ramène au calcul de 



les intégrales étant prises le long des circonférences | a? | = | s j = i . 

 » On démontre que les coefficients de 



cos(m'C + m, î^i ) et de sin(772"C + w,(^, ), 



dans le développement de R, ont pour valeur respective la partie réelle et 



le coefficient de — y/— i dans I. 



/dx 

 ^(■^■» s) ,„,"_n joue dans mes recherches un rôle 

 I X = 1 



important. On peut en obtenir une expression entièrement explicite, au 

 moyen de la méthode de M. Darboux, relative à l'approximation des fonc- 

 tions de très grands nombres (-). 



(') Le% méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. 1. 

 (^) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1878. 



