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 1) On a ainsi 



» Ces formules donnent les rayons de courbure successifs comme 

 sommes géométriques de segments qu'on peut construire de proche en 

 proche. 



» En particulier, la première expression correspond à la formule connue 

 de Dupin, la seconde contient le théorème de Maclaurin, la troisième con- 

 duit rapidement à une construction du rayon de courbure de la deuxième 

 développée de l'ellipse que j'ai donnée dans le Bulletin de la Société mathé- 

 matique, t. XXI; iSgS. 



)) Le théorème appliqué à la parabole, en prenant le foyer comme pôle 

 fixe, permet d'apercevoir une loi de formation régulière des polynômes 

 représentant les rayons de courbure successifs. Leur expression et la loi 

 de récurrence sont différentes suivant que les rayons sont de rang pair ou 

 impair. 



» Soient T = 2V, N =: 2U les longueurs des segments de la tangente et 

 de la normale comprises entre le point de la courbe et les points où ces 

 droites rencontrent l'axe. 



» L'expression du rayon de courbure R^m-i ^st de la forme 



R„,„^, = ocN + flT-N-' + 7T''N-' + . . . + lT^'"-''N-t''"-=), 



Cf., p, y, . . . , étant des coefficients numériques. 



» Le rayon de courbure de rang pair suivant est donné par la formule 



R„„= (x + 2^)T + (3p + 4T)T'N-^- 

 _^-(5y4-6S)T=N-■'-+-. . . + (4m — 3)XT""-'N-<'""-''>. 



» D'un rayon de courbure de rang pair Rj,,, exprimé sous la forme 



R2„, = aTH- pT^N-- + yT''N-" + . . . +. 7,t^'"-'N-('""-"', 

 on déduit le rayon de courbure de rang impair suivant par la formule 



R^m^, = ^^-N + (3p + 27.) T-N-' 



-t-(5y-H4(i)T''N-' + . . .-h(lim - 2)XT"" -N-'"'"-''. 

 » Les deux lois de récurrence contenues dans ces formules permettent 



