( i6) 



d'abord à une différentielle binôme et puis à une différentielle rationnelle, 

 au moyen de deux transformations qui reviennent fuialement à poser, en 

 appelant a la nouvelle variable, x' = — i + sin~-Yi- La formule (7) est 

 alors 



.„, m" 3 128 /OT r /T \ ■ I C '^'^ 



<^) 7^ = -. + — (3ï^-7l3 + 4lO ou I„ = J^ ^-^^-^- 



On ramène I„ à !„_,, pour « > i, en observant que la différence I„ — I„„, , 

 identique à ■; -, f a.d- ^——j, s'intègre par parties. Il en résulte 



^9-' ^"~~ " (4rt-4)2"-' "^ 4«-4 "^'' 



D'ailleurs, un calcul direct donnant 



(10) / r = — p looi/^-^^- ^^ i-arctan£;(,7.v/2-i-i)-f-arctang(,y-v2 — ij h 



-'0 ''^°'' av/aL " V (av'2— i)'H-i J 



et, par suite, 



[ I, = — ^ [- — log(i -f- y/a) — arctang(v/2 -f- 1) — arccot(\/2 + i)] 



... 1 2 y'2 



la formule (8) devient finalement, si l'on y exprime d'abord I., en fonction 

 de I3, puis I., en fonction de L et I2 en fonction de I,, 



( ,2^ -" ^ il _H ^ T, == V2 + "^ - ^ log(i + v^) = Vî^ + 0,3736 =. i,7«7«- 



)) Ainsi le rapport —, tout en étant inférieur à 2, excède, de o,3736, 



le rapport analogue y/^ de m' km, qui, d'ailleurs, s'il n'était déjà obtenu 

 par l'emploi des intégrales eulériennes, s'évaluerait de la même manière, 

 mais plus simplement [car a varierait alors, sous le signe / de L, I,,, I4, 

 depuis zéro jusqu'à l'infini, ce qui ferait disparaître de la formule (9) le 

 second terme et de l'expression de I, tout logarithme]. L'énergie décroît 

 donc notablement plus vite dans la tête de l'onde que dans l'onde entière, 

 sans cependant diminuer autant que le carré de la hauteur h du sommet 

 ou de la compression y maxima. En d'autres termes, la têle de l' onde s al- 

 longe sans cesse, mais beaucoup moins que la queue : double circonstance 



