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» On peut aller plus loin et montrer : 



» 1° Qu'on peut toujours transformer une courbe quelconque en une 

 courbe gauche dénuée de toute singularité; 



» 2° Qu'on peut toujours la transfornter en une courbe plane n'ayant 

 d'autre singularité que des points doubles ordinaires. 



» Bien que ces deux théorènies puissent sembler presque évidents, il y 

 aura peut-être quelque intérêt à eu donner une démonstration qui soit à 

 l'abri de toute objection. Soit 



(') ..A^-'r'-) = o 



l'équation d'une courbe plane mise sous forme homogène. 



» Je puis toujours supposer : 



» i" Que le triangle de référence ait été choisi tie telle façon que la 

 courbe ne passe par aucun de ses trois sommets 



(ic = o, j ;:= o; a; =:: o, ; = o; V = o, :; = o, 



et que ses trois côtés 



{X = o, J---=0, 3 = o) 



ne passent par aucun point multiple; 



» 2" Et, en vertu du théorème tle Niither, que tous les points multiples 

 ont leurs tangentes séparées. 



)) Par chacun des points multiples faisons passer une droite arbitraire, 

 et soit ç, le produit des premiers membres des équations de ces droites. 



» Par chacun des points multiples faisons passer encore une autre droite 

 arbitraire et soit cp^ le produit des premiers membres des équations de ces 

 droites. 



» Les polynômes 03, et cp^ seront de même degré. 



» Je puis toujours supposer : 



» i" Que les droites «p, == o ne passent en dehors des points multiples 

 par aucun des points d'intersection de la courbe f= o, et des droites 

 cp,=o. 



» 2° Que les droites «p, = o ne passent par aucun des points d'intersec- 

 tion dey^^ o et de z = o. 



» 3° Que les droites cp^ = o passent par un des points d'intersection de 

 y =: o et de j' = o, et ne passent pas par les autres. 



