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» Si je regarde X,, Xo, X^ et Y comme les coordonnées homogènes 

 d'un point dans l'espace ordinaire, les équations (2) définissent une 

 courbe gauche C". Comme X,, X, et X^ ne s'annulent pas à la fois [sauf 

 aux points multiples de (i) où Y s'annule également], les seuls points 

 singuliers que puisse avoir C" seront ceux de C. 



» Considérons donc une branche de courbe passant par un point M 

 de (i), ainsi que les branches de courbe correspondantes de C, C et C". 

 Ces diverses branches peuvent être représentées par des développements 

 de la forme suivante : x, y, z, ainsi que les X, peuvent être développés 

 suivant les puissances entières d'un paramètre t, qui s'annule au point M. 



» Si ]\J est un point ordinaire de (i), les X, ne s'annulent pas à la fois 

 pour / = o; si M est un point multiple de (i), les X, sont divisibles par i, 



mais les — ne s'annulent pas à la fois. 



» On peut envisager aussi, à la fois, deux branches de courbe de (i) 

 passant par deux points M et M' [qui d'ailleurs peuvent se confondre en 

 un point multiple de (i)]. Développons nos coordonnées suivant les puis- 

 sances d'un paramètre que j'appellerai / pour la branche qui passe en M 

 et i' pour la branche qui passe en M'. J'appellerai \- et Y' ce que devien- 

 nent X,- et Y sur la seconde branche. 



» Pour que l'on eût sur C" un point singulier, il faudrait qu'au point M 



ou qu'aux points M et M' 



/ f\ _ 1 ^2 2^ 



^^^ x\ ~ x; ~ x; "" Y'' 



X- 

 » Dans ces égalités (3) et (4), X,- et Y doivent être remplacés par — ' 



Y . 

 et - si M est un point multiple de (i); X^ et Y' doivent être remplacés par 



X' Y' 



^ et — si W est un point multiple de (i). 



» Or, comme Y dépend linéairement des X, pour que l'une des rela- 

 tions (3) ou (4) soit satisfaite, il faut que les >. satisfassent à certaines rela- 

 tions linéaires. 



» Ces relations linéaires ne peuvent être des identités, puisque la 

 courbe C n'admet pas de point singulier. 



