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 ainsi régis par des équations encore du second ordre, mais à termes de- 

 venus en général plus nombreux, et à coefficients rapidement variables 

 d'un point à l'autre, pour qu'on puisse espérer obtenir des expressions 

 saisissables de ces déplacements, à moins de les uniformiser, c'est-à-dire 

 de leur substituer, en chaque point (a^, y, :;), leurs valeurs moyennes, que 

 j'appellerai E', vi', C, prises, par exemple, dans tout l'intérieur d'une petite 

 sphère de rayon constant décrite autour de (a?, y, z) comme centre. Une 

 telle valeur moyenne, comme ^', s'exprime aisément en fonction linéaire 

 de la quantité correspondante ^ et de ses paramètres différentiels d'ordres 

 pairs AjE, AoAa^, AoAsAo^, ... ('); d'où un calcul par approximations 

 successives permet, en général, de déduire à l'inverse ^ en fonction li- 

 néaire de ^', Ao^', AjA^E', Or on conçoit que la substitution, dans les 



équations du mouvement, àE,-/i,î^, de ces sortes de valeurs en (^',ri', C). 

 IS..,(1^ ,-n' ,X,'), ..., puisse conduire, si l'on prend ensuite les moyennes des 

 résultats dans de petites étendues où se neutralisent les parties variables 

 des coefficients, à des équations (aux dérivées partielles en ^', r/, C), d'or- 

 dres plus élevés que celles d'où l'on part, mais à coefficients constants. 

 Seulement, une formation précise et sûre de pareilles équations me semble, 

 surtout pour les milieux non périodiques en x, y, z ou irrégulièrement pé- 

 riodiques, hérissée de difficultés, quand on veut pouvoir en apprécier, au 

 moins par sentiment, l'approximation ("). 



(') Voir mon Cours d'Analyse infinitésimale, t. II, p. 2o5*. La formule (21) de 

 cette page, donnant la moyenne pour tous les points équidistants de {x, y, z), savoir, 

 dans le cas actuel de trois dimensions, 



2.3 2.3.4.5 2.3.4.5-6.7 



conduit aisément à la moyenne dans toute une sphère, qu'il suffit de décomposer en 

 couches concentriques [\Tzr-dr. En multipliant donc l'expression précédente par 

 [\Tir'^dr, puis intégrant depuis zéro jusqu'au rayon s de la petite sphère, et divisant 

 par le volume |ite' de celle-ci, il vient 



5 2.3 7 2.3.4-5 9 2.3.4.5.6.7 



(-) Toutefois, quand une fonction affectée ainsi de courtes inégalités dépend d'une 

 seule variable, l'équation différentielle qui la régit après son uniformisation peut 

 être assez facile à former et à intégrer, avec une approx-imation très suffisante. J'ai eu 

 occasion de le reconnaître, dans le problème du choc longitudinal d'une barre élasti- 

 que, fixée à un bout et heurtée à l'autre par un corps d'une masse beaucoup plus 

 forte que la sienne. C'est une équation aux différences mêlées, du premier ordre par 



