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OÙ R est rationnel en v' et algébrique en j; on peut toujours l'écrire 



y' = R,[y,r, Y, (a.)], 

 avec 



(p[y, Y, (.r)] = o, 



R, désignant une fraction rationnelle de r', y. Y, etoun polynôme en y, Y; 

 et cela de telle façon que Y s'exprime rationnellement en y, y', y". 



» Dans ces conditions, si l'intégrale de (9) a ses points critiques fixes, le 

 genre de ç = o ne peut dépasser l'unité. En effet, j'ai montré qu'alors y, 

 y', y", par suite Y, sont des fonctions uniformes sans coupures de la con- 

 stante y'j, : d'après un théorème bien connu de M. Picard, le genre de ç est 

 donc égal à o ou à i . 



» Cette proposition est susceptible d'être étendue à des équations plus 

 générales que (2). J'ajoute que, quand x ne figure pas, elle résulte encore 

 de ce fait que y et Y sont des fonctions uniformes de x. 



» Il suit de là qu'une transformation algébrique permet d'étudier les 

 seules équations de la forme 



y"=Aj'=+B/4-C, 



où A, B, C sont des fonctions rationnelles soit de y seul, soit de y et de 



\J(i — J')(i — f^V^)^v'^(y)- J'observe immédiatement que, si un des 

 coefficients B, C est nul dans l'équation primitive, il est nul encore dans 

 l'équation transformée. 



» L'équation (i) équivaut à une équation du premier ordre entrey et y'. 

 Si l'on étudie y' comme fonction de y, les conditions suivantes sont néces- 

 saires pour que y{x) soit uniforme : 1° j' = F(j) ne peut admettre d'infini 

 algébrique y = a, ni de point critique de l'espèce (y — a^, a étant in- 

 commensurable; 2° si y =a est un point critique algébrique de y', on a, 



dans le voisinage de y' = a, y' = (y — a) " ( A + e), v désignant un en- 

 tier; 3° si j = a est un point critique de y' de l'espèce logarithmique, -f^ — 

 doit rester fini pour j = a; 4° si y = a est un point transcendant de j', 

 / -p- doit tendre soit vers une limite .r, , soit vers l'infini, quand y tend 

 vers a d'une façon quelconque; 5° les mêmes conditiorts doivent être rem- 

 plies quand on change y en — • 



» Appliquons eu premier lieu les conditions à l'équation 

 (3j y" = Ay'^ 



