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On trouve qu'un changement algébrique de fonction (où la nouvelle fonc- 

 tion est encore uniforme) ramène toutes les équations aux types sui- 

 vants 



(a) y' = o. j" = ^' y" = -' 



y " aR 



(^^) y"=.y"(Si-^)- 



rR=(i-7^)(.-py)-| 



b=1ê J 



v/r)' 



» Ces équations s'intègrent immédiatement : l'intégrale des équations 

 («) est toujours uniforme ; l'intégrale de B n'est uniforme que si 



— ^ = mw, -+- noi., to, et w^ représentent les périodes de sn^,. Ces résultats, 



sous une forme différente, ont déjà été obtenus par M. Picard {Mémoire 

 sur les fonctions algébriques de deux variables, p. i66 à 172). 

 » Passons aux équations de la forme 



(4) j" = A/^+By. 



» On trouve d'abord que A doit satisfaire aux mêmes conditions que 

 précédemment et que, par suite, un changement de fonction (où la fonc- 

 tion reste uniforme) donne à A une des expressions énumérées. Toutes les 

 équations sont alors ramenées aux types suivants 



» Les équations de la forme 



(5) j" = Ar'^+C 

 donnent lieu, de même, au tableau suivant 



v'2 



l y" = i^j' -+- Pj° -+- 'l'y -^^< y" = ' — ^ ^'-y* 



1/ ,. -1/ " o K ' ' 



(^") .r"=/^(a^-,-^VPv^. 



y ^ Y ' -' ~ 2R 



R' _ 



~#; 



» Toutes ces intégrations s'intègrent sans peine. L'intégrale des équa- 

 tions (a), («'), (a") est une combinaison unitorme de fonctions ration- 

 nelles, exponentielles ou doublement périodiques, sans d'autre point 

 essentiel que 07 = 00. L'intégrale de (b), (b'), (b") n'est uniforme que 



