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si - — est une période de snp=, et elle pré ^f^nte des points essentiels mo- 

 biles. 



s Arrivons enfin à l'équation générale 



(i) j"=A/='+B/+C. 



En appliquant les mêmes conditions et en comparant l'équation (i) à 

 l'équation incomplète obtenue en annulant C ou B, on forme certaines 

 équations qui, seules, pe^ve/i^ avoir leur intégrale uniforme. Or toutes ces 

 équations s'intégrent par quadratures ou se ramènent à une équation de Riccati 

 à coefficients périodiques ('). Cette intégration une fois effectuée, il est 

 facile de voir à quelles conditions l'intégrale sera réellement uniforme. On 

 arrive ainsi à cette conclusion : On peut toujours choisir les constantes d'inté- 

 gration de façon que l'intégrale y (se) dépende algébriquement au moins d'une 

 de ces constantes. D'après un théorème que j'ai établi, l'intégrale doit 

 donc se ramener aux transcendantes uniformes définies par les équations 

 du premier ordre. C'est, en effet, ce qui a lieu : Vinlégrale est une combi- 

 naison de fonctions rationnelles exponentielles doublement périodiques ou dé- 

 pend d'une équation de Riccati à coefficients périodiques. 



» On voit quelle différence profonde sépare le second et le troisième 

 ordre, puisque les équations du troisième ordre de la forme 



y'y"=\y"'+y"'Ky)' 



où A est algébrique en y, peuvent admettre comme intégrale une fonction 

 fuchsienne. La raison de cette différence réside dans les propriétés géné- 

 rales des équations différentielles que j'ai démontrées dans des Notes an- 

 térieures et dont j'ai déduit notamment quej'(a;), dans le cas du deuxième 

 ordre, ne peut présenter de coupure. 



)) l^a méthode que j'ai indiquée s'applique aussi bien à une équation al- 

 gébrique quelconque ^ {y" , y' , y) = o. 11 est même vraisemblable que l'é- 

 lévalion du degré et du genre simplifie l'intégration. On peut donc regarder 

 comme certain que l'intégrale de¥, quand elle est uniforme, est réductible 

 aux transcendantes uniformes définies par le premier ordre, mais quand 

 X figure explicitement dans l'équation, il n'en est plus ainsi. » 



(') Parmi ces équations figure notamment réquation j"=6j-- — |p*H-5[3j'', si- 

 gnalée par M. Picard et intégrée récemment par M. Mittag-Leffler. 



