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» La conclusion est que, sur la courbe C, les q points (a:-,, r,), qui coi-- 

 respondent à un point E, -r,, "C de S, forment des groupes, en nombre 

 doublement infini, qui appartiennent à un môme système, c'est-à-dire que 

 ces groupes sont compris parmi les groupes de q points découpés sur C 

 par les courbes d'un même système linéaire 



(2) ■X,o,(.r, y)-i-\,92(-P. v)-^.. .-l->-,.9,.(:r, j)= o, 



les >. étant des constantes, et r un entier supérieur à deux. 



)) Pour la courbe du système (2) qui découpe sur C le groupe de q 

 points (a:,, _7,) correspondant au ])oint (c, r,, X,) de S, les 1,- sont évidem- 

 ment des fonctions rationnelles de E, -/), ^, et par suite cette courbe a une 

 équation de la forme 



(.1) ^,(E,7), ■C)<p,(j:-, j) ■-. . . !- S',.{l,-f\,'C,)'a,.{oc, y)— o, 



les 3 étant des polynômes en E, yi, "(. 



» On en conclut que les surfaces représentées par l'équation (3), où 

 E, 71, "C sont des coordonnées courantes et x, y les coordonnées d'un point 

 de C, découpent sur S la série des courbes t, chaque surface (3) ne cou- 

 pant S, en dehors de courbes fixes, que suivant une courbe n. Par suite, les 

 surfaces représentées par l'équation 



(4) p,,f.(E,^,î:) + ...+ p,.f,.(E,-o,0-o, 



où p,. .■ -, Ç)r sont des constantes arbitraires, découpent sur S une série 

 (linéaire) de courbes 1, du même ordre que les courbes a, et comprenant 

 ces dernières : les surfaces (V) passent en effet par toutes les courbes 

 fixes communes à S et aux surfaces (3), et ont le long de ces courbes les 

 mêmes singularités que les surfaces (3). 



» Les courbes 2 ont également le môme genre que les n, dans le cas où 

 celles-ci n'ont pas de point multiple mobile, en dehors des lignes multi- 

 ples de S; dans tous les cas elles ne sont pas de genre inférieur. 



» Voici donc la conclusion : 



» Sur une surface n'ayant pas d'intégrales de différentielles totales de 

 première espèce, une série quelconque, simplement infinie, de courbes cdgé- 

 hriques se coupant deux à deux en un uu plusieurs points mobiles, est comprise 

 dans une série linéaire de courbes du même ordre. 



» Le théorème est à peu près évident si les courbes de la série consi- 

 dérée ne se coupent pas; on jieiit donc dii'e que : 



» Sur une surface n'ayant pas d'intégrales de différentielles totales de pre- 



