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 iafinité de systèmes de /n fonctions 



/(-'). ?(--) H=-) 



uniformes dans tout le plan, n'ayant que des discontinuités polaires, et jouis- 

 sant des propriétés suivantes : 



» Elles admettent une période œ', et l'on a, parle changement de zen z + to, 



/(.^-co) = R,[A.),ç(..), ...,A(.)], 



^^ \ ' 



oj et 'jj' sont deux constantes données dont le rapport est imaginaire. 



» Avant d'aborder ce problème, nous devons d'abord traiter une ques- 

 tion plus générale. 



» 2. On peut se poser le problème précédent en prenant pour les R des 

 fonctions rationnelles quelconques, c'est-à-dire en ne prenant pas une sub- 

 stitution de Cremona. On démontre seulement, dans ce cas, l'existence de 

 fonctions uniformes dans une moitié du plan. Ainsi supposons, comme il 

 est évidemment permis, w réel et positif et désignons par o// (w' étant réel) 

 la période appelée plus haut (./; nous allons faire voir qu'il existe une 

 infinité de systèmes de fonctions /, 'p, ..., i satisfaisant aux conditions 

 indiquées et uniformes dans la partie du plan à droite de Oy (en posant 

 z -~ X -h iy). Nous avons seulement besoin de supposer que certaines con- 

 ditions d^inégalité soient vérifiées par les coefficients des fonctions ration- 

 nelles R. 



» On voit tout d'abord facilement qu'on ne restreint pas la généralité 

 du problème, en supposant que les R soient des polynômes Qnf, 'p, ...,(]>. 

 Écrivons donc les équations fonctionnelles 



/(= + a)) = P.[/( = ),cp(.), ...,K=)j. 



^'^ I 



[ ^(. + co) = P4/(.),o(.),...K-')], 



les P étant des polynômes, que l'on peut aussi supposer s'annuler pour 



y"=<p = ... =(L = o. Enfin, pour terminer ces préliminaires, il est permis 



d'admettre que les termes du premier degré dans P,, P,, ..., P,„sont res- 



