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 pectivement 



et posons 



» Voici maintenant le principe de notre démonstration. En réduisant les 

 P aux termes du premier degré, nous avons les équations bien simples 



/(. + co) = ,.,/(3), 

 t^(z -h to) = y-o o(s), 



'h{z+i;) = lJ.,„i(z). 



» On satisfera à ces équations, les fonctions ayant de plus la période lo' i, 

 en prenant pour /, ç, ..., A des fonctions doublement périodiques de 

 seconde espèce 



/o(-)> ?..(-). •••' 't'o(s)- 



» Ces fondions tant nous servir de première approximation. 



» Traçons à droite de O)', dans le plan de la variable :;, des parallèles à 

 cet axe distantes de co, x = im, 2(o, .... Nous avons ainsi une succession 

 de bandes de largeur w. Je considère alors les équations 



t\ (z + o.) = ,., /, (.) + Q, [/„(,.), ç„(..), . . . , .!„(,)], 

 9.(^ + ^0 = !^-. ?.(=)+ Q.[/„(:^),?o(=),..., •%(=)], 



•l.iz + co) = !..,„!, (:;) + Q,„ [/„(:;), ?„(:=) A„(c)]. 



)) On peut (si certaines inégalités entre les jj. sont vérifiées) trouver un 

 système de fonctions uniformes /, (z), . . . , A, (s) avec la période m'i, satis- 

 laisant à ces équations, et ayant dans la première bande les mêmes pôles 

 quey„(;;), . . . , <!'o(^) (q"t^> pour simplifier, nous supposons simples et non 

 situés sur Oy) avec les mômes résidus. De ces fonctions /^, ..., A,, on 

 déduira des fonctions f.,, . . . , ^'2 absolument comme on a déduit/,, . . . , i, 

 de/,, . . . , J/„. D'une manière générale, on a 



/„(,.4-o.) = ;../„(=)-+-Q,[y;,_,(s).7,,_,(.) <].«.., (s)], 



?»(2 + ^'^) = H ?«( = ) + Q J./«-i (s). ?«-, ( = ), • • • . ']'«-, (s)], 



• » 



<!'«(- -t- '") = K-,« ^«(^) + Q,„[/'-. (^)' ?«-! (-)' • • • ' '^«-. (2)]- 



