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» Tous lesy^j, . . . , A„ ont respectivement les mêmes pôles que /„, . . . , 

 ^0, flans la première bande, avec les mêmes résidus. 



» Ces approximations successives convergent-elles vers une limite? C'est là le 

 point essentiel dans la démonstration. J'établis que les approximations con- 

 vergent si les modules de fo(z), . . . , ^ioC^)» 1^ long de l'axe Or, sont suffi- 

 samment petits, ce qu'on peut toujours supposer puisque ces fonctions 

 peuvent être multipliées préalablement par des facteurs constants assez 

 petits. 



» Nous avons donc 



\im/„(z)=^/(z), .... lim^„(-) = K-) (pour « = to). 



» Les fonctionsy, . .. ,']i sont définies seulement dans la première bande, 

 et un peu à droite et un peu à gauche. Nous n'avons rien à en dire à gauche 

 de Oy, mais à droite les équations fonctionnelles elles-mêmes (E') per- 

 mettent d'en faire de proche en proche le prolongement analytique dans les 

 bandes successives. En appelant maintenant /"(=), <p(^), ... ']'{:■) le sys- 

 tème de fonctions uniformes ainsi définies à droite de Oy, nous avons un 

 système cherché de fonctions satisfaisant aux équations (E') et ayant la 

 période w'/. Le nombre de ces systèmes est évidemment infini, puisque 

 nous sommes parti de fonctions arbitraires de seconde espèce yi,(s), . . . , 



» 3. Je développerai ailleurs la démonstration précédente qui demande 

 quelque soin. Je veux seulement indiquer ici l'énoncé d'un lemme. Soient 

 deux fonctions uniformes /(z) et P(-), de période o/i et satisfaisant à la 



relation 



/(.-^co) = -./(.) -fP(.). 



)) On suppose la fonction /(-) holomorphe dans la première bande; 

 quant à la fonction P(-), on la suppose seulement holomorphe dans une 

 bande étroite ii' comprenant l'axe Oy. Désignons par M le module maximum 

 de P(^) dans cette bande ii'. On peut trouver une constante positive a 

 dépendant seulement de to, o/, ly. et de la figure, m^iis nullement de M, telle 

 que l'on ait dans la première bande 



l/(.-)|<aM. 



» Tel est le lemme qui joue, dans mon analyse, le rôle principal. On 

 doit supposer que, pour aucune valeur positive ou négative de l'entier v, 



on n'ait [;. := e '" . 



