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CORRESPONDANCE. 



GÉOMÉTRIE. — Théorème sur les systèmes Iriplemenl orthogonaux. Note 

 de M. Lucien Lévy, présentée par M. Darboux. 



« Dans une leçon sur les systèmes de surfaces triplement orthogonales, 

 M. Darboux a signalé des systèmes qui jouissent de la propriété suivante : 

 « Si l'on forme le tableau carré des neuf cosinus directeurs des normales 

 » aux trois surfaces orthogonales en un même point 



X, Y, Z, 



X,. Y„ Z,, 



» ce Tableau est symétrique par rapport à la diagonale principale, c'est- 

 )) à-dire que 



(i) X, = Y, X,=.Z, Y, = Z, ». 



)) Ces systèmes (*) sont : i" celui composé des trois familles de sphères 

 tangentes à l'origine respectivement aux trois plans de coordonnées; 

 2" ceux qui correspondent au système précédent par plans tangents paral- 

 lèles suivant la méthode de M. Combescure ou suivant celle de M. Dar- 

 boux. 



» Je vais démontrer qu'// ny a pas d'autres systèmes orthogonaux jouis- 

 sant de la même propriété. 



(i~ o, I, 2) 



(t et ^- = o, 1 , 2). 



Les fonctions p^ satisfont à neuf équations aux dérivées partielles du pre- 

 mier ordre (Darboux, Ann. Éc. Normale, 1878). 



(') Ces systèmes sont caractérisés par ce fait que le irièdre des trois normales en 

 un point peut être rendu parallèle au trièdre des coordonnées par une rotation de 

 180° autour d'un axe convenablement choisi. 



