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peut rendre la membrane. Il s'en faut que ces résultats soient démontrés 

 avec la rigueur que l'on exige aujourd'hui en Analyse; on peut dire qu'ils 

 sont seulement rendus vraisemblables par des raisonnements analogues à 

 ceux dont on s'est servi longtemps dans l'étude du problème de Dirichlet. 

 On doit toutefois faire exception pour la première valeur X-, ; son existence 

 a été rigoureusement démontrée dans un Mémoire extrêmement remar- 

 quable ('), par M. Sch\varz, qui a aussi établi l'existence de la solution sin- 

 gulière correspondante (son fondamental de la membrane). 



» 1. Etant donné le contour C, envisageons l'intégrale v de l'équa- 

 tion (i) prenant la valeur un sur le contour, et continue à l'intérieur; on 

 peut développer cette intégrale en une série ordonnée suivant les puis- 

 sances de k, soit 



( 2 ) i> = 1 -h ç , k -h i'.,k- -h . . .-h v„k" +■ 



» Les fonctions r sont déterminées par les équations 



Ar, .H- I = o, 

 Ar., -i- i^, =: o , 



âc,, -ht'„_, 



et par la condition de s'annuler toutes sur le contour C ; M. Schwarz a 

 montré comment on pouvait trouver le rayon du cercle de convergence 

 de la série (2); il est précisément égal à k,. De plus, d'après l'éminent 

 géomètre, le produit i'„k'l a, pour n infini, une limite U, et cette fonction, 

 qui n'est pas identiquement nulle et qui prend la valeur ;:e>TO sur C, satis- 

 fait à l'équation 



(3) AU + A-,U = o. 



» Je considère maintenant, d'une manière générale, l'intégrale de (i) 

 devenant égale à l'unité sur C; on peut la regarder comme une fonction 

 de k, qui peut être complexe aussi bien que réel. Cette fonction est une 

 fonction uniforme dans le plan de la variable complexe/:, et ses points 

 singuliers sont les points A,, /%, .... J'ai cherché quelle était la nature du 

 premier point singulier k, ; je vais faire voir que ce point singulier est un 



( ' ) Festschrift zuin J ubelgcburlstage des Herrn Wcierstrass, von H. -A. Schwarz. 

 Helsing-fors, i885. 



