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pôle simple. Nous montrerons ensuite comment on peut obtenir le second 

 point singulier k.^. 



» 2. Le point délicat est de savoir comment le produit ('„^-',' tend vers sa 

 limite U. La méthode suivie par M. Schwarz pour établir l'existence de U 

 ne donne à cet égard aucun renseignement; aussi indiquerai-je avec quel- 

 ques détails la méthode dont j'ai fait usage et où je supposerai, pour éviter 

 certaines difficultés, le contour G convexe et régulièrement analytique. 

 En désignant par S l'aire limitée par G, on sait que l'on aura 



en désignant par G(^, r,, x, y) la fonction de Green relative à S et au point 



(x, y). 



» Le quotient ^4 reste compris entre deux nombres fixes A et B ( A >> B). 



Inspirons-nous ici de la méthode de la moyenne arithmétique de Neumann, 

 et surtout de la belle application qu'en a faite M. Robin au problème de la 

 distribution de l'électricité (Comptes rendus, t. CIV, p. 1 834). Nous parta- 

 geons l'aire S en deux parties a et (3 de telle sorte que 



IJ>^— (dansa), ^ < ___ (dans^); 



on aura 



..,<^JJ\JGdU-, + ±^fJuGdld,, 

 f f^G d\ dr, 4- ^ f fVGd^ dr,. 



> I A+B 



f- 



Or on a, d'après l'équation (3), 



y yUG dl dr, + ^ //UG dl dn = U. 



2Tt , 



On en conclut 



"2^' <A — ^~^ ^ 



u 



— f fvGdçdri 



» De ces inégalités, on conclura sans peine que, en désignant par A, et 



