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» Les fonctions (V ne sont pas toujours positives dans S, comme l'étaient 

 tout à l'heure les c. En procédant, pour l'étude de la série (3), comme le 

 fait M. Schwarz' pour l'étude de la série (2), nous formons la suite des 

 quantités constantes 



W„= j J a'oW^dxdy. 



» Quoique les w changent de signe dans S, les constantes W„ sont toutes 

 positives, car on voit de suite que 



» On établit sans peine les inégalités 



w 



Il Démontrons que "'^' a une limite. Dans le cas contraire, ce quotient 



''' rt 



augmenterait indéfiniment avec n\ or ceci est impossible, car alors la série 



(5) W„-f-W,/J- + ...+ W„/î-" + ... 



ne convergerait que pour k = o, ce qui n'est pas, puisque cette série est 

 égale à 



/ / <,\\wdxdy 



et que la série w converge au moins jusqu'à k = — • On voit d'ailleurs faci- 

 lement que les séries (4) et (5) ont même cercle de convergence. Il y a 



W I 



donc certainement une limite finie pour -■''"^' : si on la désigne par-?-) on 



' vv„ ° ' A, 



aura k^ ^ k^ , et k^ est le cercle de convergence de la série w : cest la seconde 



valeur singulière dont nous voulions établir l'existence. 



» 4. Le produit 



^\kl ■ 



appelle nécessairement l'attention. On peut établir que cette expression 

 converge uniformément vers une certaine limite, quand n augmente indé- 

 finiment, mais il n'est pas certain que cette limite ne soit pas nulle. Il fau- 

 drait aussi chercher quelle est la nature du point singulier Xo pour la 

 série w, ce sont des questions auxquelles je ne puis répondre pour le 



