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 » Nous nous proposons de la généraliser pour les équations d'ordre n 

 de la forme 



dont la précédente n'est qu'un cas particulier (« = i, p = i, q = i). 



» Nous supposerons seulement que les A,^ ont des dérivées partielles 

 jusqu'à l'ordre n — i analogues à celles de z- qui entrent dans rf (s) et qui 

 soient continues dans une certaine région du plan. 



» Lemme. — Si les kjit sont continus à l'intérieur d'un rectangle R ayant 

 Xff, Yo comme centre, il existe une solution z de S{") = o, continue ainsi que 

 toutes ses dérivées figurant dans rf(s), au voisinage de (a-o, y„) et satisfaisant 

 aux conditions 



z-{x„y) = Y„ |î(.r„,y) = Y _^ (,-r„, j) = Y^.,, 



-(^.ro) = ^o. |^(-^'Jo)=X ^^(^'r„)=X,_,. 



les Y ayant des dérivées jusqu'à V ordre q continues pour (r^, r) situé dans R; 

 /e*X ayant des dérivées jusqu'à l'ordre p continues pour (a-, j„) situé dans R ; 

 et l'on a en outre pour >> = o, i.../)— r,f/, = o, î . . . q — i , 



r=Tt 



)) i" Isolons le premier terme de l'équation et représentons le reste 

 parF(^). 



» Nous appliquerons la méthode des approximations successives em- 

 plovée déjà par M. Picard (') pour la démonstration du théorème précé- 

 dent dans le cas -particulier (n = i, p= ï, q =^ i). On aura à intégrer 

 successivement les équations 



d'^z, _ Jl=i_ — vr-\ ^"'"' — pr- ^ 



Zf ayant les conditions aux limites précédentes et les z.,, z^, ... des con- 

 ditions analogues obtenues en supposant nuls les X et les Y. 



(I) Journal de Mathématiques, 4" série, t. VI, p. 171. 



