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GÉOMÉTRIE. — Sur un théorème de M. Casserai. Note de M. Tzitzêica, 

 présentée par M. Darboiix. 



« M. Cosserat a énoncé le théorème suivant : 



» Les plans des cercles des systèmes cycliques déduits d'une congruence cy- 

 clique et de Ribaucour ont leurs points de contact avec leurs enveloppes en ligne 

 droite; la droite ainsi déterminée forme une congruence dont les développables 

 correspondent à celles de la congruence primitive et découpent les enveloppes 

 des plans des cercles suivant des réseaux conjugués. 



» Je vais rattacher ce théorème à la proposition suivante, relative au 

 système cyclique le plus général : 



» Considérons une congruence C et faisons correspondre à chaque droite D 

 de C la corde de contact A de la sphère S décrite sur le segment focal de D 

 comme diamètre avec son enveloppe. Je dis que, s'il existe sur la droite A un 

 point (A qui décrit une surface dont la normale en ^ soit parallèle àD, la con- 

 gruence C est cyclique. 



» En effet, soient (ce, y, s) les coordonnées du point moyen de D, 2p sa 

 distance focale. Les conditions du problème s'écrivent 



(0 



(x, ~x)-z — H (y, — y)-^ + (s, — s)-r — h pt- = o. 

 ^ ''du ^■^ " ■' Ou ^ ' ■' du ' du 



, „\à^ . / \àv , / \ rf- dp 



^ ' du du du di' di> dv 



a;,, y^, z, étant les coordonnées de \j., et X, Y, Z les cosinus de D. Décri- 

 vons du point (7. comme centre une sphère 1 orthogonale à la sphère S. Le 

 rayon de i sera déterminé par 



{y-y.)'+('-=.r = f^' + }'. 



■(y-y.){%-t)^i---){%-'ii) 



c. R., 1898, 3' Semestre. (T. CXXVII, N° 3.) 23 



