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 A toute valeur de j? correspond un point w, de l;i courbe (Wf), 



; = o, 



Yi' 



rapportée à un triangle de référence quelconque. De même, aux diverses 

 valeurs de y et de z correspondent des points m., et m^ sur deux nouvelles 

 courbes (n2.,) et (m^). A trois valeurs de x, y, = satisfaisant à la relation ( i ) 

 correspondront évidemment, sur les trois courbes graduées que nous 

 venons de définir, trois points en ligne droite. 



» Par suite de la simplicité de ces abaques, il peut être d'un intérêt pra- 

 tique assez considérable de pouvoir reconnaître si une relation donnée 

 entre trois variables est susceptible de ce mode de représentation, et, le 

 cas échéant, de savoir construire les trois courbes graduées qui consti- 

 tuent l'abaque en question : ce problème, sur lequel M. d'Ocagne a attiré 

 à maintes reprises l'attention des mathématiciens, revient évidemment à 

 reconnaître si une fonction donnée F(x,y, :■) peut être mise sous la forme 

 du déterminant (i), et à déterminer, dans ce cas, les éléments de ce der- 

 nier. 



» La question est résolue complètement au moyen des résultats que 

 j'ai l'honneur de soumettre à l'Académie dans cette Note. 



» Soient a, a', a" trois valeurs numériques arbitraires et distinctes ; de 

 même, b, V , h" et c, c' , c" . On doit, quels que soient ;r, y et z, avoir les 

 identités : 



V{x,Y, z ) F(a-, b, c ) F(x, b', c ) V(x, b",c") 



Y {a. Y, z) F(n, b, c) Y{a, b',c') F(a, b",c") 



F (a'. Y, z ) F (a', b, c ) F (a', b', c ) F (a', b", c") 



F {a", y, z ) F (a", b, c ) F {a', b', c') F {a", b", c") 



F(œ,Y, z ) F (a, y, c) F(a',Y, c' ) F (a", y, c") 



F(x, b, z) F(a, b, c) F(a',b, c') F(a",b, c") 



F{x,b',z) F(a,b',r) F(a',b',c') F{d',b',c") 



F{x,b",z) F(a, b",c) F{a',b",c') F{a",b",c") 



F{x, y, z ) F (a, b, z ) F (a, b', z ) F (a", b", z ) 



F(x, Y, c ) F(«, b, c ) F(«', b', z ) F(a", b",c ) 



F(x,y,c') F{a,b,c') F{a',b',c') F{à',b",c) 



F{x,y,c") F(a, b, c") F(a',b',c") F{a",b",c") 



» Considérons maintenant les trois fonctions u, r et u' des variables^ 



(A) o = 



(B) o = 



(^) 



