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question. Or cette solution est des plus simples et peut être présentée 

 synthétiquement sous la forme suivante : 



» Les fonctions U,, V,, W, que nous cherclions sont ici trois polynômes 

 entiers en œ, v, ::, de degré au moins égal à deux, et égaux respectivement 



aux produits de 



^ x- y- -^ 



a- h- c- 



par trois nouveaux polynômes entiers U], V^, W^. Si l'on exprime que trois 

 tels polynômes U,, V,, W, vérifient les équations (i), on trouve, pour 

 déterminer les coefficients de U -, V^, W^, un système d'équations linéaires 

 et homogènes, dont le nombre est évidemment égal à celui de ces coeffi- 

 cients; en annulant le déterminant de ce système, on a, pour déterminer 

 le nombre correspondant k, qui figure dans les équations (i), une équation 

 algébrique entière; cette équation admet généralement la racine — i, 

 comme on devait s'y attendre, et ses autres racines sont réelles et dis- 

 tinctes. On parvient facilement à cette conclusion, qu'il existe trois sys- 

 tèmes de polynômes du deuxième degré, cinq systèmes de polynômes 

 du troisième degré et, en général, 2n-|-i systèmes de polynômes de 

 degré n -t- i satisfaisant aux conditions indiquées plus haut. 



» Les trois systèmes de polynômes du deuxième degré sont donnés res- 

 pectivement par les trois systèmes de formules 



U = Ai2, V = o, W = o, 



U = o. V=:Bi2, W = o, 



U = o, V = o. W = C£^, 



où A, B, C sont des cor.stantes arbitraires; les trois valeurs correspon- 

 dantes de k sont respectivement 



(7^ b- c- a' b- c' 



1 I 



)) Les cinq systèmes de polynômes du troisième degré sont déterminés 

 de la façon suivante : deux des valeurs de k sont les racines de l'équation 



du second degré 



= o, 



