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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les groupes continus de mouvements 

 d'une variété quelconque à trois dimensions; Note de M. G. Ricci, pré- 

 sentée par M. Darboux. 



« Riemann nous a appris à juger de la courbure d'une variété quel- 

 conque V, dans le voisinage d'un point P, d'après la courbure de Gauss en P, 

 de toute surface géoclésique conduite dans V et passant par ce point. S'il 

 s'agit d'une variété à trois dimensions, j'appellerai courbure riemannienne 

 de V dans un point quelconque P(a,",, x.,, x^) et dans la direction /, qui va 

 de P au point (ir, + dx, , x., -+■ dx.,, x, -+- dx.,), la courbure totale de la sur- 

 face géodésique conduite dans V par P orthogonalement à /. Dans ce cas, 

 on a une expression bien simple de cette courbure, que je désignerai par R. 



» Le numérateur de l'expression donnée par Riemann pour la courbure 

 de Gauss de toute surface géodésique passant par P dépend de certains 

 coefficients, qu'il désigne par les svniboles {ce', c" c"). Si l'on convient de 

 considérer comme équivalents les nombres congrus par rapport à 3, ceux 

 parmi ces coefficients qui ne sont pas nuls peuvent être réduits, au signe 

 près, au type (r -t- i , r -i- 2; ^ + i , 5 h- 2). 



» Soient 



ds' — 2 a,, dx, f/f,EEEE o 



l'expression en coordonnées générales du carré de l'élément linéaire de V, 

 a le discriminant de o, et posons 



«'A.=2«/./'Ty5(/'+ U /> -h'2, q -hl, q -\- 2), 

 'l=^o.,,dx,dXs. 



p'i 



» On aura 



R = ^- 



» Puisque les a„ sont symétriques par rapport à leurs indices, l'équation 



