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a toutes ses racines réelles. Cette équation ayant un caractère invariantif, 

 j'appellerai ses racines invariants principaux de la variété V. Si a est un de 

 ces invariants, les équations 



s 



déterminent une ou plusieurs directions, qui partent d'un point quel- 

 conque P de V, et que j'appellerai directions ou directions principales déter- 

 minées par l'invariant w. 



» Le problème qui a pour but de déterminer les conditions d'existence 

 et les transformations infinitésimales généi-atrices du groupe continu de 

 mouvements sans déformation d'une variété V à trois dimensions est inti- 

 mement lié aux propriétés de ses invariants principaux et des directions 

 principales correspondantes. J'ai résolu ce problème, mais je dois me 

 borner ici à énoncer quelques-uns des résultats de ma recherche. 



» On voit d'abord que les invariants principaux de V sont aussi des inva- 

 riants du groupe G et il s'ensuit que, pour que le groupe G soit transitif, il est 

 nécessaire que les invariants principaux V soient constants. 



» Cette condition étant satisfaite, supposons d'abord que les trois inva- 

 riants principaux, que l'on pourra désigner par w,, co^, co,, soient égaux. 

 C'est le cas des espaces à courbure constante et l'on sait depuis longtem[)s 

 que c'est aussi le seul cas dans lequel le groupe G est à six paramètres. 



)i Supposons, en second lieu, w. ^oj^^w, et aoieat dx,, dx.,, dx., les 

 incréments à donner à x,, x.^, .r.,, pour que le point déterminé par ces 

 coordonnées se déplace dans la direction principale déterminée par l'inva- 

 variant w,. Posons 



(0 





(/>, .5) étant les coefficients bien connus de Christoffel. Pour que le groupe G 

 soit à quatre paramètres, il faut et il suffit que l'on ait les identités 



A,.,. = C(«,,. — ^r^/-). 



C et c étant constantes. 



