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 M. J);iil)()iix qui a cnraclérisé la courbure totale de Gauss comme la notion 

 la plus importante pour la courbure en Géométrie. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur la représentation conforme des variétés à trois dimensions. 

 Note de M. Emile Cotton, présentée par M. Darboux. 



« I. Une variété à n dimensions est définie si l'on se donne l'ensemble 

 de n variables Xi et d'une forme quadratique de leurs différentielles, à 

 discriminant différent de zéro (le ds'- de la variété). Deux variétés à n di- 

 mensions, je, ds- ; v', ds"-, sont dites applicables s'il est possible de déter- 

 miner les œ en fonction des a-', de telle sorte que la substitution correspon- 

 dante transforme ds'- en ds'-. Deux variétés sont représentables conformément 

 l'une sur l'autre s'il est possible de déterminer les ac en fonction des .r', de 

 telle sorte que ds^ se transforme en ds'^ à un facteur près indépendant des 

 différentielles. 



i> On sait par quelle suite d'opérations algébriques et de dérivations on 

 peut reconnaître si deux variétés quelconques sont applicables l'une sur 

 l'autre ('). Je me propose de montrer ici comment le problème de la 

 représentation conforme des variétés à trois dimensions se ramène au pré- 

 cédent. D'une façon plus précise : à toute variété à trois dimensions, il est 

 possible d'en adjoindre une autre, que nous appellerons variété principale, 

 ne différant de la précédente que par le ds-. Si deux variétés sont représen- 

 tables conformément l'une sur Vautre, leurs variétés principales sont applica- 

 bles et réciproquement. La détermination de cette variété principale se fait 

 par des opérations toujours effectuables. 



)) II. Soient ds'- = ^ «,, rfa, dxj un ds'- à trois variables, p une fonction 



quelconque de ces trois variables, A le discriminant de ds"^ . Considérons 

 la forme de- = p- ds'^, et calculons, pour cette forme drr, le covariant que 

 M. Christoffel, dans le Mémoire cité, désigne par r. On peut former six 

 combinaisons A^^, linéaires et homogènes par rapport aux coefficients 

 khk de r, et constituées de la façon suivante : Posons R = logp. L'expres- 



sion Aj,y comprend le terme -y- — p-» augmenté d'une fonction entière par 



rapport aux dérivées du premier ordre de R et aux dérivées des coeffi- 

 cients a^j de ds- , rationnelle par rapport aux a,y. 



(') \o\\' Christoffel, Journal de Crelle, t. 70. 



