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» Eiï'ecLiioiis un cliangeinetit de variables, en désit;nant par les mêmes 

 notations, suivies d'accents, les éléments construits à partir du second sys- 

 tème de variables. L'expression des A' en fonction des A montre que : 



» La forme quadratique de différentielles : \(^dx^ ^ ^ A ^^ dxp dx^ est un 

 covariant de dn'^ . 



n HT. Les coefficients de l(dx) dépendent encore de R, mais on peut 

 former un covariant de da- indépendant de R. Pour cela, rappelons que de 

 tout système de deux formes quadratiques (le différentielles covariantes il 

 est possible de déduire un covariant cubique (à trois systèmes différents 

 de difléreutielles) ('). Appliquons ce résultat à de- et à l^dx). La forme 

 cubique obtenue ne dépend plus de R {ou de p). Je l'ai vérifié en prenant, ce 



qui est toujours possible, pour rA'- la forme ^ H'' dx\ . Les calculs auxquels 



on est conduit sont ceux qui donnent les résultats indiqués dans une Note 

 précédente (-). En résumé : 



» -4 tout ds'- à trois variables est attaché un covariant cubique de différen - 

 lielles. Ce covariant reste inaltéré si l'on multiplie ds- par une fonction quel- 

 conque des trois variables. 



» On vérifie aisément que ce covariant est identiquement nul pour toute 

 variété représentable conformément sur l' espace euclidien ordinaire, et récipro- 

 quement. 



» IV. Dans le cas général, le covariant n'est [)as identiquement nul; ou 

 peut en grouper les termes de manière à lui donner la forme 



C.{dx, Tw, D.r) = ^ C^.. i^iji Y)X/,(dxi fixj — dxj hx/). 



La sommation s'étend aux valeurs i, 2, 3 de l'indice X: et aux combinaisons 

 différentes (ij) des indices i, 2, 3 pris deux à deux. Ce covariant est donc 

 une forme bilinéaire des variables Dxj, et dxitxj — dxjtxi. (Ces variables 

 .s'expriment d'ailleurs linéairement en fonction des expressions correspon- 

 dantes relatives aux x' .^ Mais il est facile de voir que 



'T{dx, tx, \)x)= p^A 



iZr, . dx.^ dx.j 

 hx, So-o Sîx., 



Dj;-, Dx.. Dx, 



(') Voir L. BiANCUi, Lezinni di Geotnetria diD'erenzude, p. :)3. 

 (-) Comptes 1 end us, 2G juillet 1897. 



