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du numérateur et du dénominateur; c'est ce que j'appelle la réduite (p, q). 

 » Le dénominateur de la réduite (p, q) de e" est 



p_V;^_,^A q{q- v)...{q-h + l) ^_ 



^-^*V '; {p + q){p^q-l)...{p+q-fl+\) ll\ 



» L'identité 



q — ' q ip 



P + q — i p + q {p + q){p + '] — ') 

 montre que, si les deux nombres /?, q croissent indéfiniment, de telle sorte 

 que le rapport - tende vers une limite co, le terme général de ce dénomi- 

 nateur tend vers 



lu + I 



en même temps que le nombre des termes croît indéfiniment, et l'on peut 

 présumer que P tend vers une limite égale à la somme de la série 



I — 



1 .2 (lO -I- !)'■' 1.2.3 (OJ -+- l)^ 



c'est-à-dire à e ""^ '. Il en est efFectivement ainsi, et la proposition à laquelle 

 on parvient est celle-ci : 



» Quel que soit x, le dénominateur de la réduite (p, q) de e^, quand p et q 



croissent indéfiniment de telle sorte que le rapport — tende vers une limite w, 



tend vers une limite; cette limite est e "^*'; dans tout intervalle, le polynôme 

 tend uniformément vers sa limite. 



» La proposition subsiste quand l'un seulement des deux nombres jo, q 

 croît indéfiniment. 



» Une proposition analogue est relative au numérateur de la réduite; la 



(ij.r 



limite est alors e"^'. On en conclut que : 



» Dans tout intervalle, la réduite (p, y) de e", quand l'un au moins des 



deux nombres p, q croît indéfiniment, le rapport — tendant vers une limite ou 



grandissant indéfiniment, tend uniformément vers e^. 



» Faisons dans un plan correspondre la réduite (/?, q) au point (^, p); 



alors - est le coefficient angulaire de la droite qui va de l'origine au point 



