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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations de Laplace. à solutions 

 quadratiques. Note de M. Tzitzeica. 



« Dans beaucoup de questions de Géométrie il est nécessaire de 

 connaître les équations de Laplace, 



(0 



T — r —fi~- 





qui admettent n solutions z^, z-.. z„, telles que 3^4-...-+-;,', en soit 



aussi une solution. Le problème se réduit à delui-ci : T rouver les fondions 

 a et h, de manière que le système 



(■^) 



d^z,- dzi jèzi 



Ojc Oy ôx Or 



i--i,i n. 



\ ^ àx ày ~~ ' 



\ «■=! 



soit compatible. J/étude de ce système est difficile. Je vais pourtant en 

 dégager un cas particulier. 



M A cet effet, je ferai quelques considérations sur l'intégrale générale 

 du système (2). Il est clair, à cause de la symétrie, que, en ce qui con- 

 cerne les constantes arbitraires de l'intégrale générale (s,, :■., z„), il 



y a plusieurs cas à considérer : je supposerai qu'en dehors d'un certain 

 nombre de constantes arbitraires communes à toutes les fonctions s,, il y 

 en ait d'autres qui ne se présentent que dafls une seule fonction :;,. (On 

 fera abstraction des constantes additives.) 



M C'est ce dernier cas qu'on peut étudier aisément. Supposons, en effet, 

 connues les fonctions z,. ^3. • • • , s„ et posoii|s 



dz^ dz^ 

 dx dy 



àz„ dz„ 

 dx dy 



c sera une fonction connue de a; et de j'; quant à ^1 , elle sera donnée par 

 le système 



(3) 



d'z ^^dz _^^dz^ 

 dx dy dx dy 



àz dz 

 dx dy 



