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 ces relations nécessaires et suffisantes sont 



ab =: a,bf, 



» Il résulte alors, pour la classe d'équations que nous étudions, que 

 deux équations quelconques de cette classe peuvent, à la suite d'un change- 

 ment convenable des iianables indépendantes, se correspondre par des rela- 

 tions telles que ( 5 ). 



1) En particulier, toute équation de Laplace (i) dont les coefficients a 

 et b satisfont aux relations (4) peut correspondre, après un changement 

 convenable des variables indépendantes, à l'éauation 



■y(x— ^-ili- ^ — A — 



"X J J ^j. ^y ^jp ^j 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités des fonctions analytiques et, 

 en particulier, des fonctions définies par les éuuations différentielles. Note 

 de M. Paul Painlevé. 



« Considérons une fonction analytique y{x;) qui admet le point 3?:= o 

 comme point singulier isolé : autrement dit, dans un cercle C ayant l'ori- 

 gine comme centre, la fonction y{oc) n'admetld'autre point singulier que 

 l'origine. Si, dans ce cercle C, la fonction J'(a|) est uniforme, l'origine est 

 un pôle ou un ^o\n[. essentiel àe y (^x); dans ce dernier cas, J'(a?) est entiè- 

 rement indéterminée dans le voisinage de l'origine; j'entends par là que 

 y s'approche autant qu'on lèvent de toute valeur donnée à l'avance quand 

 X tend vers zéro. Supposons, au contraire, qup l'origine soit un point ci'i- 

 tique de ^(3;) ; deux hypothèses sont alors possjbles quand x tend vers zéro 

 sur un chemin arbitraire : ou bien y^x) tend Vers une limite déterminée, 



finie ou non (exemples : y = loga;, y = p;— . )> ou bien y(x) est indéter- 

 minée. Mais cette indétermination (et c'est là le fait sur lequel je veux 

 insister) n'est pas nécessairement complète; il suffit, pour s'en rendre 

 compte, de considérer l'exemple 



y = (logxy. 



