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 » Traçons, de l'origine comme centre, un cercle C de rayon moindre 

 que I et posons i 



X— r(cos9 4- isinô), loga; = logr + iO = p(coso> -f-isino), 



d'où 



3tc -^ ''^ 



2 ^ ^ 1 



I 3 -2 



» Nous définissons ainsi dans C une fonction à un nombre infini de 

 branches, qui n'admet d'autre point singulier que l'origine. Quand x tend 

 vers zéro, y{x') est indéterminé; or son domaine d'indétermination 

 n'embrasse pas tout le plan des y, mais seulement la couronne comprise 



entre les deux circonférences, concentriques à l'origine, de rayon e^ et e^ . 



» A tout point singulier d'une fonction analytique y{x), pour lequel 

 la valeur de la fonction n'est pas déterminée, correspond donc un certain 

 domaine d'indétermination dey. Je vais définir avec précision ce domaine, 

 sans faire aucune hypothèse sur la nature du point singulier considéré. 



» Soit L un chemin du plan des x aboutissant (') à un pointa et sur 

 lequel la branche donnée de fonction analytique y(x) est holomorphe, 

 sauf au point a. Ce point singulier a peut être isolé ou faire partie d'une 

 ligne singulière, ou d'un ensemble parfait, etc. Décrivons, du point a 

 comme centre, un cercle y de rayon très petit e, et soit J^ la portion du 

 chemin L attenante au point a et intérieure à y; faisons varier arbitraire- 

 ment X dans y à partir d'un point x„ de Le, et prolongeons analytiquement 

 la fonction y(x). 



» Représentons par D^ l'ensemble de toutes les valeurs qu'acquiert ainsi 

 la fonction y(x) et des valeurs limites. Il est facile de voir que l'en- 

 semble De définit, dans le plan des y, une aire d'un seul tenant. Si i est 

 moindre que e, l'aire De' est entièrement contenue dans De- Quand s. tend 

 vers zéro, D^ tend vers un certain ensemble D qui est, si l'on veut, 

 l'ensemble des points communs à toutes les aires De- Au sujet de cet 



(') Ce chemin L est, d'ailleurs, quelconque; il peut admettre le point j; = a comme 

 point asymptote, et son arc peut croître indéfiniment quand a; tend vers a. 



