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 ensemble D, on montre aisément que trois cas seulement sont possibles : 



» 1° Ou bien il n'existe pas de points communs à tontes les aires D^; 

 dans ce cas, la branche^ (a?) tend vers l'infini quand x tend vers a\ 



•ti 2° On bien il n'existe qu'un point commun à toutes les aires D^, 

 soit r = è; la fonction Jk(^) tend alors vers la valeur h quand x tend 



vers a; 



» 3" Ou bien il existe au moins deux points communs à toutes les 

 aires Dg; dans ce cas, l'ensemble D est un ensemble continu d'un seul tenant 

 {aire ou ligne). C'est cet ensemble 1) que nous appelons « domaine d'indéter- 

 mination », pour X = a,de ta branche de fonction y (^x). Le point singulier 

 07 = a est alors un point transcendant de nature essentielle. 



» Si D embrasse tout le plan des y, le prtnt ic = a est dit point d'indé- 

 termination complète àe y {x) ; c'est le cas \\\ point essentiel ordinaire de 

 Weierstrass. Dans l'exemple y = (loga-)' cité plus haut, D ne comprend 

 qu'une aire limitée du plan ; on peut former des exemples où D se réduit à 

 une ligne. 



M Ces définitions admises, on peut démontrer les théorèmes suivants, 

 relatifs aux transcendantes qui vérifient une équation différentielle algé- 

 brique. 



» TnKORiîME I. — L'intégrale y (^x) d' une équation différentielle (algé- 

 brique) du premier ordre ne peut pfésenter dè\ points singuliers transcendants 

 qui soient des points d'indétermination incomplète. 



» Les points transcendants de y(x) sont, comme on sait, en nombre 

 fini et leurs affixes se calculent algébriquement sur l'équation dilféren- 

 tielle. Si, en un de ces points, y(x) est indéterminée, le domaine d'indé- 

 termination de y embrasse tout le plan. 



» Théorème IL — L'intégrale y (x) dhike équation différentielle (algé- 

 brique) du second ordre ne peut admettre comme points essentiels d'indétermi- 

 nation incomplète qu'un nombre fini de points x — a dont les affixes se cal- 

 culent algébriquement sur l' équation. 



» L'équation 



(0 



/'=(i +0y r 





dont l'intégrale générale est 



y = a(\ogbxy (a, b constantes arbitraires), 



C. R., 1900, i' Semestre. (T. CXXXI, N' 10.) 



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