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» M""* Kowaleski, clans un Mémoire célèbre, a déterminé les cas où 

 l'intégrale générale du système différentiel classique, qui définit ce 

 mouvement, est fonction méromorphe du temps t (t réel ou imaginaire). 



» Notre méthode permet de résoudre de la façon la plus rationnelle et 

 la plus simple le problème plus général suivant : 



» Déterminer tous les cas où le mouvement du corps pesant est défini par des 

 fonctions uniformes de t. 



M Les fonctions ne sont pas supposées méromorphes, mais peuvent, 

 a priori, présenter des singularités essentielles quelconques. 



» Pour ce problème particulier, on ne trouve pas d'ailleurs de cas nou- 

 veaux. 



» n. Inversion des différentielles totales. Fonctions ahéliennes. 



» Considérons le système 



(i) '?{x,y)dx -\~Çl(x, y)dy = du, P,(x, y)dx -i-Q,(œ, y)dy = dv, 



dont les premiers membres sont des différentielles (algébriques) totales. 

 Proposons-nous de déterminer les cas où les fonctions x(u, v), y{u, v) 

 ainsi définies sont uniformes. 



» Quand les différentielles exactes P c?a7 -4- Q dy, V ^ dx -\- Q, dy sont de 

 première espèce, les fonctions x(^u, v), y{u, v) sont des fonctions ahé- 

 liennes non dégénérées : notre méthode permet de représenter ces 

 fonctions par le quotient de fonctions entières, qui vérifient un système 

 différentiel algébrique très simple et qui jouissent des propriétés de quasi- 

 périodicité caractéristiques des fonctions intermédiaires 9. On peut ainsi 

 constituer toute la théorie des fonctions abéliennes sans rien emprunter à 

 la doctrine des surfaces de Riemann ni des fonctions 0. 



» Quand les deux différentielles exactes ne sont pas de première espèce, ^ 

 la méthode permet d'élucider tous les cas qui se présentent et notamment 

 de démontrer la célèbre proposition de Weierstrass sur les fonctions qui 

 admettent un théorème d'addition. 



» III. Recherche des cas où l'intégrale générale d'un système différentiel 

 n'admet pas de singularités transcendantes. 



» Considérons, pour fixer les idées, une équation 



où P et Q sont des polynômes en y', y, x, et soient j'^, j^, x^, des valeurs qui 



