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 annulent à la fois P et Q. Proposons-nous de reconnaître si les intégrales 

 y{x) définies par les conditions initiales j'^, j„, x^ admettent ou non 

 X =^ x^ comme point singulier transcendant . 



» La première partie de notre méthode fournit immédiatement une 

 suite de conditions nécessaires pour quea;„ soit un point ordinaire ou algé- 

 brique des intégrales j(ar); la seconde partie donne la marche à suivre 

 pour reconnaître si ces conditions sont suffisantes. 



» IV. Étude des intégrales d'un système différentiel dans le champ réel. — 

 Supposons qu'on ait démontré que les intégrales réelles d'un système dif- 

 férentiel réel {analytique) n'aient (dans le champ réel) d'autres singula- 

 rités que des pôles. V intégration quantitative An système réel est achevée; 

 j'entends par là qu'on sait former des séries convergentes qui représentent 

 les intégrales réelles dans tout le champ réel. 



M Considérons, par exemple, les équations : 



(3) r"=yp(r.^)-+-R(r.^). 



où p et R sont des fractions rationnelles (réelles) en y, a; qui ne deviennent 

 infinies pour aucune valeur finie (réelle) de j, x. Notre méthode permet 

 de déterminer explicitement tous les cas où les intégrales réelles y(x) n'ont 



d'autres singularités que des pôles. Il faut d'abord que - et -^ restent finis 



pour j = ûo. Bornons-nous au cas où l'équation (3) est de la forme : 



^^^ ^-Q(j,..)' I 



le degré de P en j surpassant de deux unités celui de Q. Moyennant une 

 transformation linéaire effectuée sur j, il est loisible d'écrire l'équation (4) 

 ainsi : 



(5) y = oy- +- «(a:-) H ^ — '-^ f-— j f — 1. 



Pour que l'intégrale réelle j(a;) de l'équation donnée n'ait d'autres singu- 

 larités que des pôles, il faut et il suffit qu'après la transformation on ait : 



h^ ^^ — Cette condition remplie, l'intégrale réelle ^-(0;), définie par 



les conditions initiales réelles jj|,jg, a;„, est représentable pour toutes les 

 valeurs réelles de x par le quotient de deux séries de polynômes en x, 

 dont les coefficients se calculent par dérivations successives. » 



