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 On remarquera que, pour t infiniment petit, cette expression île a est bien 

 finie et se réduit à çp(o, o, o), c'est-à-dire, d'après (2), à la moyenne des 

 valeurs de u^, comme il le fallait. 



» Portons enfin, dans (6), l'expression (2) de ç devenue, avant le rem- 

 placement de t par t [x, , ~' j -7^"' et où r, troisième côté d'un triangle 



dont les deux autres côtés sont t et R, aura pour carré R--f-c- — 2Rï cosO, 

 6 désignant ainsi les angles que fait le rayon vecteur, x, du point {x, y, z) 

 considéré, avec les divers rayons R de la sphère, qui aboutissent aux élé- 

 ments respectifs d(j de la surface. On aura donc, comme formule définitive, 



(7) « = /^ r"(R^--'r):^"-'^^i^- f '^ r 



■^"^^0 -'■î [R2— 3Ri|j.cosO + t2|jLS]-^ 



Elle est due à Poisson, qui l'a obtenue sous une forme et surtout d'une 

 manière très différentes ('). 



» IV. Examinons le cas extrême d'une conductibilité superficielle insen- 

 sible, ou de h infiniment petit, mais dans l'hypothèse de températures exté- 

 rieures Ug très grandes; de manière que le produit hu^ soit une fonction 

 arbitraire finie, que nous appellerons U, ou, plus explicitement, U(a, b,c). 

 Toutefois, pour que la température interne u puisse être finie, il faudra que 

 sa valeur au centre, moyenne des valeurs de iig, le soit, et que, par suite, 



/ U— s'annule à la limite A = o. Nous admettrons donc que la fonction 



donnée U ait (une fois la limite atteinte) sa valeur moyenne nulle, condi- 

 tion permettant, comme on voir, d'attribuer une valeur finie quelconque 

 à la température u^ du centre. 



» Alors les valeurs h{it,.-~ u) de la dérivée -1- à la surface deviendront 



évidemment limite {hu^), c'est-à-dire la fonction \]{a,h,c) considérée 

 dans ses valeurs limites; et le problème reviendra à se donner, sur toute 



la surface c de la sphère, cette dérivée t^j ou le flux corrélatif entrant de 



chaleur, dont les valeurs ou moyenne, ou totale, sont bien nulles à l'état 

 permanent. 



M La formule (7), où il faudra poser «^= y, pourra s'écrire identique- 



(') Théorie mathématique de la chaleur, p. 388. 



