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» Tons ces cas correspondent à des propriétés géométriques intéres- 

 santes. J'indiquerai seulement, dans les Comptes rendus, les propriétés qui 

 correspondent aux quatrième et sixième cas. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'instabitité de certaines substilutions. 

 Note de M. Levi-Civita. présentée par M. Appell. 



« J'envisage les transformations ponctuelles réelles à deux variables 



(0 



,r, = .57-1- cp(^,_y) +. .., y, = y -t- i}(a:, j) -H. . ., 



dont la partie du premier ordre se réduit à l'identité, les termes non écrits 

 étant d'ordre supérieur au second. 



» Je me propose de démontrer que les substitutions telles que (r) sont 

 en général instables, c'esL-à-dire qu'on peut, par des itérations 



( Yn = J«-i + ? {x„_„ y„_, ) -h . . . , 



de (^i) , faire sortir le point représentatif V„ (dont les coordonnées sont a:,,, 

 y„) d'un cercle fixe C, tracé autour de l'origine O, pounu qu'on prenne la 

 position initiale P (de coordonnées x, y) dans un secteur convenable, si prés 

 de O que l'on veut. 



» Plaçons-nous dans le cas général, où les deux formes (p et i/ n'ont pas 

 de facteurs en commun. 



» On peut alors supposer que notre substitution (i) ait été préalable- 

 ment réduite (par une transformation linéaire réelle) à la forme 



[ x,=x ->rx- +y{ax + by)-\-\i{x,y), 

 \ y,=y{i + cx + dy)^N{x,y), 



U et V étant, bien entendu, du troisième ordre au moins par rapport à o;, y. 



» La courbe j, =7(1 -ircx + dy) -f- V = o a pour tangente à l'origine 



la droite j = o ; ce sera en général une tangente d'inflexion . Quoi qu'il en 



soit, pour X assez petit et positif, la courbe J, = o est située tout entière 



