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(8) i__"JlL£^>o, 



(9) xW <C tanga. 



« On lire de (6), avant égard à (7) et (9), 



— ^z — - — -xz -+- - — ^J7tangx<tanga — f r — ^ — xj (langac — z), 



et a fortiori, d'après (8), 



(10) —i tanga. 



)) Les inégalités (4), (5) et (10) montrent qu'à tout point P de S notre 

 substitution (3) fait correspondre un point P, à la droite de la parallèle à 

 l'axe Oj conduite par P, et non extérieur à l'angle AOB. Si P, appartient 

 lui-même au secteur S, déterminons Po par (2) et ainsi de suite, en répé- 

 tant cette opération tant que l'on reste dans S. D'après ce que l'on vient 

 de dire, on ne peut pas sortir du secteur S, sans sortir en même temps du 

 cercle C, auquel le secteur appartient. La proposition énoncée sera donc 

 établie, si nous prouvons que les points de la succession P, P, , P^, ... ne 

 peuvent tomber indéfiniment à l'intérieur de S. A la vérité, s'il en était 

 ainsi, les abscisses x, x,,x.^, , .., qui forment une succession croissante, 

 devraient tendre vers une limite l finie et positive. Mais an a x ^^x -{- ~x- ; 

 de même a'„^a;„ _, + T,a::^_,, et par conséquent la limite / devrait remplir 

 une inégalité de la forme /:!/ -f- ^/^, ce qui est absurde. 



» 2" c^i. — On a recours à la substitution inverse de (3). On dé- 

 montre par des considérations analogues qu'en partant des points P d'un 

 secteur convenable les points P_,, P_n, ... approchent indéfiniment de 

 l'origine. 



» Il est alors possible, avec des positions initiales, si près de l'origine 

 f|ue l'on veut (celles de ladite succession P_,, P_o, . . .), de rejoindre, par 

 l'itération de (3 ), un point P fixé à l'avance. Il y a bien instabilité. 



» 3° c = I . — Ce cas peut être reconduit à l'un ou à l'autre des deux 

 précédents. 



» Les substitutions a-, ^^x cosô — ysinO -t- ..., j^, =a;sin04- j'cosô-i-..., 

 où est commensurable avec 2 tu, se ramènent par itération à la forme (i). 

 Elles aussi sont donc instables, du moins en général. Il est bien probable 

 que cette conclusion subsiste pour toute valeur de 9, mais je ne puis encore 

 le démontrer rigoureusement. En attendant je voudrais indiquer com- 



C. R., 1900, a« Semestre. (T. CXXXI, N» 2.) l4 



