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» Les systèmes orthogonaux considérés peuvent être définis par la pro- 

 priété à' admettre un groupe continu de transformations de Comhescurc. 



» Par un choix convenable des paramètres, on peut ramener les équa- 

 tions des trajectoires du groupe à la forme p, — p r= consf., p^ — p = const., 

 p, p,, p2 étant les paramètres des trois familles du système. Les neuf cosinus 



X, Y, Z, X sont évidemment des fonctions des différences u - p, — p, 



t' = P2 — p; en introduisant cette hypothèse dans les équations de M. Dar- 

 boux ('), on obtient les expressions suivantes des quantités [i,^ qui défi- 

 nissent la représentation sphérique du système 



« ^■*=P"=v/5S;' 



V étant une fonction de u, v. Posons -—■ ^^\\ la fonction V et, par suite, 



(/p ' 



les quantités p,* sont complètement définies par la condition suivante : 



l'expression 6 = -r — h -, 4- X- doit satisfaire à l'équation 

 '^ ou de ^ 



( \ ^'6 _ I dn 



^ ■' du dv 2 du di 



qui est l'équation tangentielle de Laplace relative an système formé par 

 les lignes de courbure des surfaces p = const. Cette observation permet 

 d'obtenir une solution étendue du problème, en (irenant 



dl dl ., . , 



-c- ^ -^ — i- ;/ ;= OA -;- t). 

 ou oc 



» Revenant au cas général, on obtient aisément des équations de 

 M. Darboux (loc. cit.) : 



(3) ff = ^MH, 



que les quantités H," sont des dérivées partielles d'une même fonction 



il en résulte la forme suivante de l'élément linéaire de l'espace : 



(4) rf.-=^rfp-+^^P,-i-^42. 



(') Darboux, Leçons sur les systèmes orthogonaux, p. 1S8-190. 



