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y) Les trois familles du système sont composées des surfaces (S) de 

 M. Petot {Comptes rendus, 22 juin 1891). Parmi les nombreuses propriétés 

 intéressantes de ces surfaces, je citerai seulement les suivantes : 



» i" Chaque surface (^S) est divisée par des lignes de courbure en rectangles 

 infiniment petits dont les côtés sonl proportionnels aux rayons de courbure géo- 

 désique respectifs ; 



» 2" Les deux équations de Laplace {ponctuelle et tangentielle) relatives au 

 système des lignes de courbure ont une solution commune; 



» 3° La détermination des lignes de courbure d'une surface (S) exige de 

 simples quadratures. \ 



n En désignant par P, P,, Pj les distances de l'origine aux trois plans 

 tangents du système orthogonal, on aura, en général, les six équations 



(5) fr^P-P'- 



Pour les systèmes en question, on a P,a= Pam 6t les équations (5) devien- 

 nent identiques aux équations (3) qui définissent les quantités H,. Par 

 conséquent, lorsqu'on a trouvé un système orthogonal 2 de l'espèce con- 

 sidérée, on obtiendra deux systèmes 2, et i_, de la même espèce en con- 

 sidérant les quantités H, relatives au système 1 comme des quantités P,- 

 relatives au système i,, ou bi'en les quantités P, relatives au système 2 

 comme des quantités H^- relatives au système i;_, . En continuant de même, 

 on obtiendra une série infinie de systèmes orthogonaux 



((\\ V V V V y 



\^ J ■••> -"—2' •"— I' -'! -"I' •^2' ••• 



admettant tous la même représentation sphérique. 



» Tous les systèmes de la série (^6) deviennent identiques au système 21 

 si l'on a 



(■7) , H,-^ cri*, (ç^const.). 



Comme les quantités H, et P, relatives à un même système sont liées par 

 les équations 



(8) H,=.f^ + ^ + ^, 



on reconnaît aisément que les systèmes correspondant à l'hypothèse (7) 

 sont composés de trois familles de surfaces homothétiques; les systèmes de 

 celte espèce ont été considérés par M. Petot (loc. cit.). 



» La détermination de tous les systèmes homothétiques correspondant aux 



