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 alors à la fois, lorsqu'on v fait />, =p^^= g',^ o; au contraire - — ne s'an- 

 nule pour aucune valeur de y, . 



» La fonction F pourra être représentée sous la forme suivante 



(3) F =:C+ f — 4-«j/?, + \{a^^pl + ^a^^p^q., + a^zll) +•••, 



où C est une constante, les a sont des fonctions périodiques (de période 27;) 

 de la seule variable ^, et les termes non écrits sont d'ordre supérieur par 

 rapport aux trois variables p,, p^, q^. j 



» La solution périodique (;>.) possède deuk exposants caractéristiques 

 nuls et deux autres oc et — a. Si la partie réelle de a n'est pas nulle, la 

 solution est instable, ainsi qu'il résulte dès travaux bien connus de 

 MM. Poincaré et Liapounoff. Pour a purement imaginaire, M. Poincaré 

 convient, à l'exemple des Anglais, d'appeler stable la solution correspon- 

 dante. Sera-t-elle stable au sens rigoureux du mot? Je crois infiniment peu 

 probable qu'il en soit ainsi en général, mais à présent je ne puis confirmer 

 cette présomption, sinon pour une sorte très particulière de solutions 



périodiques, celles pour qui le nombre -^=î serait commensurable avec 



le moyen mouvement ^■ 



» Envisageons les solutions de (i), pour qui F = C, C étant la constante 

 de la formule (3). En résolvant par rapport à/?,, il vient 



T 



■ ' 2 2Tt 



où H est au moins du troisième ordre en p.,, ^2. Les trajectoires de ces 

 solutions (pour qui F = C) sont définies par les équations canoniques 



<JF dF 



( f\ dPt _ àqt _ _ <j(K + H) <^ — _ ^1. _ <)( K + H) 



^^' dq, ~' à¥^ ~ dq^2 (^q^" ii^ ~ ^P-^ 



dp, dpi 



Posons pour un moment H = o et intégrons par la méthode de Jacobi, en 

 désignant par x, y un couple de constantes canoniques. On trouve 



Les fonctions c de la variable q, sont périodiques, d'après l'hypothèse que 



