et 



( '72 ) 

 sont cominensurables entre eux. La période est nk^, ayant posé 



- — = T> avec A et ^ entiers, premiers entre eux. 



» En remplaçant les variables /)j, q^ par x, y, le système (/j) devient 



(4') 







dy 

 dqx 



dx 



OÙ H est une fonction périodique de y,, dont le développement en série 

 de puissances de x, y commence par un polynôme du troisième degré H,. 

 Soit J\x,y) le terme indépendant de y, dans le développement de H, en 



série trigonométrique de l'argument —• Si la forme cubique (à coefficients 



constants) -=j— (a;, y) n'a pas de facteurs multiples, la solution x = o, y = o 



de (/() et, par conséquent, la sc^ution périodique (^^) du système proposé sont 



assurément instables. \ 



» En effet, soient x„, y„ les Valeurs de x, y pour y, = o; a?,, j, leurs 



valeurs après la période ^k-. iJes intégrales x, j' étant développables en 



séries de puissances de a7„, y,,, posons (en réunissant les termes de même 



degré) 



ar = P, + P2+. ., j = Q,-f-Q2 + .... 



» Portons ces expressions dais les (4) et nous trouverons de suite 



P. =Fo. Q.=7o. 





'^dq„ Q,=f '^,dq,. 



» Il va sans dire que, dans j^, -^, les variables x,y doivent être rem- 



ât ■ dy 

 placées par x^, y^. En faisant q\= iki:, j'obtiens 



à/{xo,y„) 

 àyo 



V. =7o + 



àf{xo,yo) 



ÔXa 



» C'est une substitution instable (voir ma Note du 9 juillet), car f n'a 

 pas de facteurs multiples et, par conséquent, les deux formes quadratiques 



~ ) -f- sont sans facteurs communs. 



ax Oy 



» On en conclut immédiatement l'instabilité de la solution a; = o, j = o, 

 d'où, en revenant aux variables p^, y^, celle de la solution donnée. 



