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 pour obtenir «, et, par conséquent, z, déterminée par la première des 

 équations (i). 



» :;„, Z.J étant deux solutions quelconques et données, par exemple 

 indépendantes de x'\'\ !r[^\ pour soumettre 1 et ^i. aux conditions indiquées, 

 il reste à choisir, comme il convient, 



» Imaginons, à cet effet, qu'on ait su trouver, pour l'équation propo- 

 sée, quatre solutions, différentes de s,, z^ et d'ailleurs absolument quel- 

 conques. En substituant chacune d'elles à la place de z dans l'équa- 

 tion (3), dont le dernier terme s'exprime par (4), on forme des équations 

 où tout est connu, hormis les valeurs de s,, s'/"", s'"*', aux points (X.,,x^^^) 

 et [a;',°',X2j. Les relations 1 = 1^, (x.> = a:[^'); [y. = tx^, (.r, == jr ',"'), sem- 

 blables aux précédentes et linéaires à l'égard des mêmes inconnues, 

 achèvent de déterminer ces dernières, en sorte qu'on possède 



(6) :;,(X,, <>!<',<'), 3,(ap',»i,X,K',<'), 



avec les expressions correspondantes de -,"", s," ". Une permutation, tou- 

 jours permise, puisque X,, Xj sont arbitraires, donne alors 



(7) :;,«',X,|X,,X,), ^,(X„<'|X..X,). 



L'expression générale de z, en découle par l'équation (3). Il suffit d'y 

 prendre pour inconnue (5) au lieu de :; et d'attribuer au point (X,, X,) le 

 rôle qu'avait (x^"', a:',"'). D'après ce qui précède, tout est alors donné dans 

 la relation ainsi construite, excepté z,(X,,X.,\x\''\ x'.^), qui en résulte, 

 non toutefois sans une quadrature. 



» Comme conclusion, une équation aux dérivées partielles, linéaire et 

 du second ordre, rapportée à ses caractéristiques, que je suppose réelles, 

 s'intègre d'une manière complète par la méthode proposée, si l'on en sait 

 trouver «a- solutions particulières gui peuvent être tout à fait quelconques. Je 

 n'ai pas encore examiné comment le nombre des solutions exigées peut 

 être diminué. 



» Une méthode analogue s'applique aux équations renfermant plus de 

 deux variables indépendantes; celte question sera, si l'Académie veut bien 

 le permettre, l'objet d'une autre Communication. » 



