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valeurs de ^(■tt = o, i, 2) ont fait l'objet de nombreuses recherches. Nos 

 études récentes sur les surfaces nous ont amenés à une proposition tout 

 à fait générale qui renferme les résultats rappelés ci-dessus, et d'où l'on 

 peut déduire des corollaires fort intéressants : 



» Si une surface algébrique contient un système linéaire de courbes C de 

 genre ■k'^ o se coupant deux à deux en n points, où 



n~;>iT. — -2., 



la surjace est rationnelle ou bien elle peut être ramenée (par une transfor- 

 mation birationnelle) à un cylindre f{œ, y) = o de genre p > o. 



» Lorsque les courbes C ont des points fixes multiples, il faut évaluer 

 les nombres n et u en tenant compte des ordres de multiplicité de ces 

 points. 



» On parvient au théorème énoncé par le procédé de réduction, dont 

 nous avons fait usage en plusieurs recherches, qui consiste à remplacer 

 le système des courbes C par son adjoint, et ainsi de suite. 



» Ce résultat découle d'un examen approfondi du dernier système 

 adjoint auquel on est amené. 



» En laissant de côté les explications assez longues que le sujet exige- 

 rait, qu'il nous soit permis d'appeler l'attention sur quelques consé- 

 quences remarquables du théorème énoncé. 



» 1 . Si une sur/ace algébrique contient une série continue de courbes ration- 

 nelles C, la surface est elle-même rationnelle, ou bien elle peut être ramenée à 

 un cylindre de genre supérieur à z-éro. 



» On peut justifier cette proposition en distinguant deux cas : 



» a. Si les courbes C forment un faisceau (c'est-à-dire qu'il passe une 

 courbe par chaque point de la surface) la transformation de la surface en 

 un cylindre est déjà connue. 



» b. Dans le cas contraire, on sait, d'aprèsM. Humbert, que les courbes C 

 seront contenues dans im système linéaire de dimension ^i; et le sys- 

 tème aura le genre -k si les Cont tï points doubles mobiles, tandis que deux 

 courbes du système (ou deux C) se couperont en n^iT. — 2 points, 

 comme il est facile de le reconnaître. C'est donc le cas d'appliquer noire 

 proposition. 



» On peut aussi énoncer le théorème (I) sous une autre forme remar- 

 quable : 



» Si les coordonnées des points d'une surface 



f{x,y,z)r= o 



