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 sont des fonctions rationnelles de 



X, Y, Z où F(X,Y)=o, 

 (x) œ = ^,(X,Y,Z), j = ^,(X,Y,Z), z = ^,{X,Y,Z), 



V 



et si les formules (x) ne sont pas invertibles d'une manière rationnelle, 

 on pourra toujours exprimer x, y, z par des fonctions rationnelles de trois 

 nouveaux paramètres m, v, w, liés par une relation de la forme 



(p(f/,<^) = o, 



et cela de telle sorte que m, v, w s'expriment à leur tour par des fonctions 

 rationnelles de x, y, z. 



» Lorsque l'équation F(X, Y) = o se réduit à X = o, on a la proposition 

 bien connue concernant la rationalité des involutions planes. 



» 2. Une seconde application du théorème concerne la détermination 

 des surfaces admettant une série de transformations birationnelles en elles- 

 mêmes, qui n'engendrent pas un groupe d'ordre fini : ces surfaces sont ration- 

 nelles ou bien elles pem'ent être ramenées à des cylindres. 



» Ainsi se trouve comblée la seule lacune que les profondes et belles 

 recherches de MM. Picard et Painlevé laissaient encore subsister dans la 

 théorie des surfaces admettant une série continue de transformations bira- 

 tionnelles en elles-mêmes. 



» Il est aisé de déduire la proposition (2) de notre théorème général. 



» Soit F une surface d'un certain ordre n, admettant une série continue 

 de transformations birationnelles en elles-mêmes. 



» Lorsque ces transformations n'engendrent pas un groupe d'ordre fini, 

 en les multipliant entre elles on aura une série -xf de transformations pour 

 chaque valeur arbitrairement grande du nombre r. 



» Appliquons maintenant ces ce'' transformations aux courbes C sections 

 planes de F, dont le genre sera désigné par tu. 



» Nous obtiendrons une série de systèmes linéaires; chaque système 

 sera composé de courbes C,. de genre iz se coupant deux à deux en n points 

 mobiles et ayant des points bases doués de certaines multiplicités i,, 

 i.,, ... ; on aura 



2i > n— (277 — 2) 



lorsque r est assez grand. 



» Or toutes les courbes C^ appartiendront à un même système linéaire 



de courbes de genre n = ■:t -t- V -^^ -, se coupant deux à deux en 



