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 l'équation (i) se réduit alors à celle des surfaces minima et l'on a ainsi une 

 classe de surfaces isotherniiques S non euclidiennes qui jouissent, comme 

 on le voit de suite, de la propriété suivante : les quatre coordonnées m,, u^, 

 U.J, M, salis/ont à l'équation de Laplace relative aux lignes de courbure d'une 

 surface minima; on en déduit de suite que les surfaces S' de l'espace ordinaire 

 qui correspondent aux surfaces S sont les surfaces isothermiques déterminées 

 par M. r/ij'irt»// (voir sa Thèse et Comptes rendus, 1900). 



» M. Thybault a ratf.aché les surfaces S' à la déformation du parabo- 

 loïde à plan directeur isotrope, et il a montré plus généralement qu'à toute 

 surface M applicable sur un paraboloïde quelconque on peut rattacher un 

 couple de surfaces isothermiques i'eti', ; or ces deux surf aces sont les trans- 

 formées de deux surfaces non euclidiennes parallèles à courbure moyenne con- 

 stante 1 et 1,. Inversement, si l'on connaît de telles surfaces 2 et If on peut, 

 par des quadratures, déterminer une surface M applicable sur un paraboloïde 

 quelconque. 



» Sans démontrer complètement cette proposition, ce qui serait trop 

 long, voici les formules qui permettent de faire dériver une surface M d'un 

 couple de surfaces 22 et 2, : 



» Soient ^(x,y,z, it), 2.,(^x,, y^, z^, it,) les coordonnées de deux sur- 

 faces, on aura évidemment, en supposant à l'hypersphère le rayon a, 



Sx^-t- = a\ 



Sx'^ — t'^ — «% 



et, comme 2^1 et 2, sont parallèles, 



» T^a surface 



$ = fx dt + X , dt, 



Y) = j y dt H- r, dt\ 



X, ^ f zdt A- .3, dt\ 



aura pour élément linéaire I 



dS-= (t- -h a-)dt''-{- 2(H, -i--'')dtd,t, -+- (t-^ -+- a"-)dl\, 



et sera applicable sur le paraboloïde ' 



-+- 



îlr, 



b^ -h a- l>- + a- 

 en particulier, si i == o, ^ etl^ seront des surfaces minima non euclidiennes. 



