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» Cette définition permet d'éviter des difficultés et des restrictions dans 

 la suite de la théorie; par exemple, on peut démontrer d'une manière tout 

 à fait générale que, le produit de deux séries absolument sornmables, effectué 

 d'après la règle de Cauchy, est une série absolument sommable. 



» 2. Dans la même théorie, j'ai obtenu récemment un résultat nouveau, 

 dont la démonstration paraîtra dans les Mathematische Annalen. On se 

 rappelle peut-être que, étant donnée une série de Taylor 



«0 + u^z -\- u.,z- -\- ..., 



j'ai défini, sous le nom àe polygone de sommabilité, un polygone tel que la 

 série est certainement sommable à l'intérieur du polygone; mais il y a 

 doute relativement à l'extérieur (Comptes rendus, 5 octobre 1896; Journal 

 de M. Jordan, p. 445; i8()G). La proposition dont je voulais parler est la 

 suivante : La série est absolument sommable en tout point intérieur et n'est 

 absolument sommable en aucun point extérieur; il n'y a doute que pour le 

 contour du polygone de sommabilité. On déduit aisément de là que le 

 produit 



e-^u{az) 



tend vers zéro si ;; est intérieur au polygone de sommabilité et ne reste 

 pas fini si z est extérieur à ce polygone. Ce résultat donne évidemment 

 une méthode pour la recherche des singularités de la fonction définie par 

 la série donnée ('). De plus, on voit ainsi que la méthode exponentielle 

 fournit une région bien détermmée de sommabilité absolue, fait dont l'in- 

 térêt a été signalé par M. Mittag-Leffler {Acta mathematica, t. XXIV, 

 p. 187 et 188). 



» 3. Dans le Mémoire qui vient d'être cité, M. Mittag-Leffler indique 

 comment on peut déduire de la série de Taylor des développements ayant 

 une région bien déterminée de convergence, généralement plus étendue 

 que notre polygone de sommabilité; ces développements ont d'ailleurs 

 une forme d'autant moins simple que leur région de convergence est plus 

 grande; suivant les cas, dans les applications, il pourra y avoir avantage à 

 s'en servir ou à employer notre méthode exponentielle. 



» Dans des Mémoires bien connus, M. Mittag-Leffler avait indiqué le 

 moyen de former un développement convergent dans toute la région à 

 , \ 



(') Voir, à ce sujet, la Thèse de M. Servant, où le résultat qui vient d'être énoncé 

 a été admis sans démonstration. 



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