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de la courbe comme limite des longueurs de ces polygones. Les courbes 

 se partagent en deux catégories : les courbes reclifinbles, celles vers les- 

 quelles tend uniformément une suite de polygones dont les longueurs 

 n'augmentent pas indéfiniment, et les courbes non rectifiables. La longueur 

 d'une courbe reclifiable est la plus |)etile limite des longueurs des poly- 

 gones qui tendent uniformément vers la courbe. Si l'on considère une 

 suite de polygones inscrits dans la courbe et tendant uniformément vers 

 elle, la suite des longueurs de ces polynômes tend vers la longueur de la 

 courbe. La longueur de l'arc (t^, t) de la courbe (0 est fonction continue 

 de /. 



)> Les fonctions /, (p, ij; étant continues en (m, c), les équations 



(2) x=f{a,v), j^. (p(M, (.), z:^^(u,i') 



définissent une surface. Dans le langage courant, on appelle Vaire d'une 

 surface l'aire de certaines surfaces polyédrales confondues avec la surface 

 au degré de précision que l'on peut atteindre. On est donc conduit à définir 

 l'aire comme limite de ces aires. Les surfaces se partagent en deux caté- 

 gories : les surfaces quarrables, celles vers lesquelles tend uniformément 

 une suite de surfaces polyédrales dont les aires n'augmentent pas indéfi- 

 niment, et les surfaces non quarrables. Une surface quarrable peut 

 être d'une infinité de manières divisée en morceaux limités par des 

 courbes rectifiables, le diamètre maximum des contours de ces morceaux 

 étant aussi petit que l'on veut. Appelons aire minima d'une courbe recli- 

 fiable fermée C la limite des aires des surfaces polyédrales bilatères simple- 

 ment connexes dont les frontières tendent uniformément vers C. Ceci 

 posé, l'aire d'une surface quarrable est la plus petite limite des aires des 

 surfaces polyédrales qui tendent uniformément vers la surface. Considérons 

 une suite de divisions de la surface en morceaux limités par des courbes 

 rectifiables, le diamètre maximum des contours de ces morceaux tendant 

 vers zéro. A chaque division correspond un nombre, la somme des aires 

 minima des contours des morceaux; ces nombres tendent vers l'aire de la 

 surface. 



1) Les courbes de la surface se partagent en deux catégories : celles qui 

 peuvent être enfermées dans des morceaux de la surface dont l'aire est 

 aussi petite que l'on veut, les courbes quarrables sur la surface, et celles 

 qui ne le sont pas. Pour un morceau M limité par une courbe C non quar- 

 rable, il y a deux nombres à considérer : l'aire précédemment définie, ou 

 aire intérieure, et l'aire extérieure, qui est la limite des aires intérieures 



