( 8(59 ) 

 lies morceaux comprenant M et dont la frontière tend uniformément vers C. 

 r/aire d'un morceau de la surface (2), limitée par une courbe défmie au 

 moyen de la courbe correspondante c du plan de (m, v), est une fonction 

 de c bien définie et continue quand c varie dans l'ensemble des courbes 

 auxquelles correspondent des courbes quarrables sur la surface. 



» La définition donnée plus haut, due à Scheeffer, de la longueur d'une 

 courbe me semble bien s'appliquer au cas le plus général que l'on puisse 

 envisager si l'on veut laisser au mot longueur quelque rapport avec son 

 sens ordinaire. Pour la même raison, il ne semble pas que l'on puisse dé- 

 finir l'aire d'une surface non quarrable. 



» Dans une Note précédente (') j'ai défini l'aire de certaines surfaces, 

 les surfaces reclifiahles , telles qu'à toute courbe rectifiable du plan («,<') 

 corresponde sur la surface une courbe rectifiable. La définition que j'ai 

 donnée est un cas particulier de celle qui précède. J'ai fait remarquer la 

 grande analogie qui existe entre les définitions des mots longueur et aire; 

 cette analogie subsiste avec les surfaces plus générales que je considère 

 maintenant. 



» L'ensemble des surfaces quarrables n'est pas identique à celui des surfaces 

 rectifiables. Mais les surfaces rectifiables jouissent de propriétés fort simples. 

 Pour ces surfaces/", ç, <\i sont des différences de fonctions croissantes en u 

 eli>; et de plus les nombres dérivés au sens de Dini, de ces fonctions con- 

 sidérées comme fonctions de la seule variable u, puis de la seule variable j^, 

 sont limités supérieurement en valeur absolue. Le rapport de l'aire d'un 

 morceau de la surftice à l'aire du morceau correspondant du plan des (a, v) 

 est limité supérieurement. 



» La longueur d'une courbe étant définie, on peut définir les intégrales 

 attachées à cette courbe. Soit F(/) une fonction attachée à la courbe (1 ). 

 Exprimons les points de cette courbe en fonction de la longueur s de 

 l'arc (<o, 0- ^(0 ^^^ "1^6 fonction de s, $(*). Par définition de l'intégrale 

 curviligne, on aura 



fF(t)ds= I 'î>[s)ds, 



la seconde intégrale étant une intégrale ordinaire. La première des for- 

 mules (1) définit la courbe projection sur l'axe Ox. Une intégrale relative 

 à celle courbe est la généralisation des intégrales attachées à la projection 

 des courbes ordinaires. 



(') Comptes rendus, 2; novembre 1899. 



