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 » Soit maintenant une snrface quarrable (2); F(«, ç») une fonction défi- 

 nie sur cette surface. Divisons la surface en morceaux quarrables. Soient Sa 

 l'aire de l'un d'eux; M, m le maximum et le minimum de F dans ce mor- 

 ceau. Lorsque l'on fait varier la décomposition de façon que le diamètre 

 maximum de chacun des morceaux tende vers zéro, les deux sommes 



tendent vers des limites fixes, indépendantes de la décomposition choisie. 

 Ce sont V intégrale par excès et l'intégrale par défaut. Si elles sont égales, 

 F est intégrable. Ceci se présente en particulier si F est continue. Je repré- 

 sente l'intégrale correspondante par 



(3) //l 



Yda. 



» Si da représente l'élément d'aire de la surface projection définie par 

 les deux premières équations (i), on a la généralisation de l'intégrale 



/ I F dx dy. 



» On peut aussi donner de l'intégrale une autre définition tout à fait iden- 

 tique à celle des intégrales curvilignes. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks fonctions fondamentales et le problème 

 de Dirichlet. Note de M. W. Stekloff, présentée par M. Picard. 



« 1. Dans mon Mémoire : Les méthodes générales , etc. {Annales de Tou- 

 louse, t. II; 1900), j'ai démontré que la méthode de M. C. Neumann ré- 

 sout le problème de Dirichlet pour toute surface (S) satisfaisante certaines 

 conditions générales, si la fonction donnée f, à laquelle doit se réduire 

 sur (S) la fonction harmonique cherchée, satisfait à l'inégalité de M. Lia- 

 pounoff [Mémoire cité, p. 214, formule (11)] ( ' ). 



» Il serait important d'éliminer cette restriction par rapporta /et de 

 démontrer la méthode de Neumann sous la seule condition que f soit 

 continue sur (S). 



» J'ai proposé pour cela une méthode simple dans ma Note du 12 février 



(') V^oir aussi M. A. Ivokm, Lclirbucli dcr Poleiitiallheorie. Berlin, 1899. 



