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 igoo, mais je dois reconnaître moi-même qu'elle est susceptible d'objec- 

 tions et sa démonstration rigoureuse offre quelques difficultés particulières. 



M C'est pourquoi je me permets d'indiquer une autre méthode, un peu 

 plus détournée, mais rigoureuse, en employant les fonctions fondamen- 

 tales, dont j'ai démontré l'existence et les propriétés principales dans mes 

 Notes du 27 mars et du 17 avril iSgg ('). 



» Il faut d'abord rappeler quelques propositions générales relatives aux 

 fonctions fondamentales et les appliquer à la solution du problème de 

 Dirichlet; c'est ce que je ferai dans cette Note. 



» 2. Nous pou\ons k présent démonlrer, indépendamment du principe de 

 Dirichlet, les théorèmes suivants que j'énoncerai sans démonstration : 



» I. Toute surface (S) satisfaisant aux conditions 1°, 2°, 3° et 4" de mon 

 Mémoire cité (p. 208) donne lieu à une infinité de nombres positifs 

 !/,(& = o, I, 2, . . .), indéfiniment croissants avec k, et de fonctions fonda- 

 mentales V^(^:=:o, 1,2,...), harmoniques à l'intérieur de (^) et satisfaisant 

 aux conditions \ 



>o^O' V|, = const., 



où <p est une fonction donnée, positive et ne s' annulant pas sur (S) , et n désigne 

 la direction de la normale extérieure à (S). 



» II. Soit f une fonction du point (x, y, z) de (S)qui peut varier brusque- 

 ment, quand (x, y, z) traverse quelques lignes isolées de longueur finie, 

 tracées sur ( S ), et reste continue en tous les autres points de (S ); soit ']^ une 

 autre fonction satisfaisant à la seule condition 



(2) /"<}.» r/^<R, 



K étant un nombre fixe. Ces conditions étant remplies, on a 



J <f/^ds=^'^A^B„ A,=f^fY,ds, B,=f^^V,ds, 

 //l ds^'^k,Q., = ^ D,B„ C, = A V, ds, D, = T/ V, ds, 

 ks séries ^k^B,,, ^A«Q, ^1^*^* étant convergentes 2\i?>o\nvs\&c\\. 



(') Voir aussi H. Poincaré, Acla Malhematica, t. XX; 1896. Ed. Le Roï, Annales 

 de t'Écolt Normale, 1S97-1898. 



